삼각형 무게중심 성질 (m:n 내분점의 무게중심, 거리 제곱의 합)

오늘은 고1 해석기하에서 배우는,

삼각형의 무게중심에 대해

간단한 정리를 해볼 예정입니다.

 

정의나 다른 일반적인 성질 말고,

문제풀이에 유용하게 쓸 수 있는 성질입니다.

첫째,

삼각형 내분점들의 무게중심은

원래 삼각형의 무게중심과 같습니다.

AB,BC,CA를 m:n으로 내분하는 점을 P,Q,R이라 하면,

증명은 매우 간단합니다.

PQR의 좌표를 구한다음,

무게중심을 구하면 됩니다.

즉 △ABC의 무게중심

= △PQR의 무게중심입니다.

 

참고로 외분점의 경우도 수식을 정리해보면 성립하는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

 

둘째,

삼각형 내부의 점 중,

세 꼭짓점까지의 거리 제곱의 합이

최소가 되는 점은 무게중심이다.

내부의 임의의 점을 P(a,b)로 두고,

세 꼭짓점까지의 거리의 제곱을 구해봅니다. 

여기서 xa,xb,xc,ya,yb,yc은

주어진 삼각형의 좌표이므로 상수입니다.

이 식에서 변수는 P(a,b)이죠.

 

셋을 다 더한 값은

각각 a와 b에 대한 이차함수입니다.

 

마침 전개식의 항 중 ab는 없으니

그냥 각각의 문자에 대해 정리하면 됩니다. 

우리는 점 P(a,b)의 좌표에만 관심이 있으니,

굳이 완전제곱식을 정리하지 않아도 됩니다.

 

그냥 축의 방정식만 써도 바로 나오지요.ㅎㅎ

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다시 복습해볼까요?

1. 삼각형 내분점(외분점)들의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 같습니다.

2. 삼각형 내부의 점 중, 세 꼭짓점까지의 거리 제곱의 합이 최소가 되는 점은 무게중심이다.

 

증명 매번 하지말고 외워두시면 문제 푸는 속도가 많이 빨라질 거에요.

 

그럼 화이팅입니다.^^