[원과 직선] 꿀팁 - 내접원의 길이 비

오늘은 중3 내신에서 유용하게 사용할 수 있는 꿀팁을 하나 알려드리려고 합니다.

 

증명까지 다 해서 설명해드리고,

예제 풀고 정리해드릴테니,

이걸 보시는 여러분은 이해한 다음 공식을 외워가서

빠르고 편하게 문제를 풀면 되겠죠?

 

편의성을 위해 아래 설명 부분은 반말로 서술하겠습니닷.

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아래 그림과 같이 두 원 P, Q는 서로 외접하고 동시에 지름의 길이가 R인 반원 O에 내접한다. 이 때 세 원의 반지름의 길이비를 구하여라.

미리 알려드리는 결론입니다.

 

우선 원P의 지름은 원O의 반지름이기 때문에 둘의 관계는 쉽게 알 수 있습니다.

 

 

작은원 Q의 반지름을 r, 큰 원 O의 반지름을 R이라고 두고, 중심끼리 연결한 보조선과 접선에 내린 수선의 발을 같이 그려줍니다. 이 과정은 원을 보면 항상 해봐야 하죠.

 

그리고 가장 큰 원 O의 중심과 가장 작은 원 Q의 중심도 연결해줍니다. 그림에서 보이는 빨간 형광펜 선이죠.

삼각형 POQ만 따로 모양을 관찰하자면 아래와 같습니다. Q에서 선분 PO에 수선의 발을 내린 다음, 노란 직각 삼각형과 빨간 직각삼각형의 공통변을 이용하여 식을 정리해줍니다. 

큰 원의 반지름 R이 가장 작은 원 반지름 r의 4배라는 결론이 나옵니다.

정리하자면 이렇죠.

 

이제 문제를 풀어볼까요?

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예제

아래 그림과 같이 두 원 P, Q는 서로 외접하고 동시에 지름의 길이가 20인 반원 O에 내접한다. 이 때 원Q의 둘레의 길이를 구하여라.

 

정답 : Q의 반지름은 5/2이므로 둘레의 길이는 5π

 

다음에도 좋은 꿀팁 있으면 갖고 오겠습니다 :-)