한량 지아이의 수학 LIFE

[원과 직선] 꿀팁 - 내접원의 길이 비

오늘은 중3 내신에서 유용하게 사용할 수 있는 꿀팁을 하나 알려드리려고 합니다. 증명까지 다 해서 설명해드리고,예제 풀고 정리해드릴테니,이걸 보시는 여러분은 이해한 다음 공식을 외워가서빠르고 편하게 문제를 풀면 되겠죠? 편의성을 위해 아래 설명 부분은 반말로 서술하겠습니닷. 아래 그림과 같이 두 원 P, Q는 서로 외접하고 동시에 지름의 길이가 R인 반원 O에 내접한다. 이 때 세 원의 반지름의 길이비를 구하여라. 우선 원P의 지름은 원O의 반지름이기 때문에 둘의 관계는 쉽게 알 수 있습니다.  작은원 Q의 반지름을 r, 큰 원 O의 반지름을 R이라고 두고, 중심끼리 연결한 보조선과 접선에 내린 수선의 발을 같이 그려줍니다. 이 과정은 원을 보면 항상 해봐야 하죠. 그리고 가장 큰 원 O의 중심과 가장 ..

보통 삼각비의 값을 물어보면 수선의 발을 내려 직각 삼각형을 이용해서 구합니다. 그렇지만 직각을 그리기 힘들거나 할 경우엔,넓이를 이용하면 좀 더 쉬운 문제들도 있어요. 아래 문제들은 시험보기 전에 풀어보면 많은 도움이 될 것입니다. 문제와 풀이는 추후 업데이트 될 수 있습니다. 문제1아래 그림의 정사각형 ABCD에서점 M, N이 각각 BC, CD의 중점이고∠MAN=x라 할 때, sinx의 값을 구하여라. 정답 : 3/5 문제2아래 그림과 같이 직각삼각형 ABC에서∠C=90º, BC=CD=AD=5이고∠ABD=x일 때, sinx와 cosx의 곱을 구하여라.정답 : 3/10문제3∠A=90º인 직각삼각형 ABC에서AB위의 점 D에 대해AD:DB=2:1, ∠ADC=60º가 성립한다.∠DCB=xº라 할 때, si..

근호가 있는 식을 정리할 때,소숫점 옮기는 유형은 다들 풀 줄 아시죠? 기출 문제를 풀다보니,주어진 숫자 말고 다른 숫자가 나오는 경우당황할 것 같아 몇 문제 추가로 실어봅니다. 이럴 땐 당황하지 말고, 주어진 숫자를 정리 해보세요! 문제12021-3-1-m 새롬중 기출 주어진 값은 8.25, 82.5인데 갑자기 33이 나와서 당황스럽죠? 따라서 정답은 1번입니다. 와.. 시험기간이라 해설을 다 쓰려고 했는데, 한 문제 작성해보니 손목 크리로.. 안되겠군요.ㅠㅠ우선은 급한대로 손으로 쓴 걸 찍어서 올리거나, 아니면 타이핑으로 힌트만 쓰는 방향으로 해야겠네요.. 문제22021-3-1-m 수내중정답 : 5번8360을 소인수분해해서 정리해보세요.20.9가 표에..

삼각비의 특수각은 0º, 30º, 45º, 60º, 90º까지는 외워서 쓰죠. 그리고 미적분에서 삼각함수의 덧셈정리를 배우고 나면, 15º=45º-30º 75º=45º+30º 22.5º=45º/2 67.5º=45º+22.5º or 90º-22.5º 이런 식으로 특수각들로 만들 수 있는 다른 각도 삼각비의 값을 구할 수 있답니다. 그렇지만 오늘의 카테고리는 중등 3학년 삼각비! 그래서 도형으로 해당 값들을 유도해서 풀어볼거에요. 중3 삼각비 15도, 75도 유도 기본은 우리가 아는 30º, 60º, 90º로 이루어진 직각 삼각형과 직각 이등변 삼각형 두 개를 붙여놓은 걸로 시작합니다. 처음부터 미지수를 쓰면 눈에 잘 안 들어올 수 있으니 간단하게 숫자로 설명하고 일반화하도록 할게요! 아래 그림과 같이 BE..

중3 교육과정 중 초반에 모두가 헷갈려하는 내용을 들고 왔습니다. 바로 제곱근의 정의에 관한 내용이죠. 지도하다 보면 오히려 연산은 학생들이 잘 따라오는데, 개념에 관한 내용을 헷갈리는 경우가 많더라고요. 그래서 오늘의 포스팅 준비했습니다. 우선 외워야 하는 내용부터 살펴봅시다. 제곱근은 처음 배우는 용어이기 때문에 정의를 명확하게 알아야 합니다. 1. x는 a의 제곱근이다. 2. x는 제곱하면 a가 된다. 3. x²=a 4. x=±√a 요 네 가지는 어설프게 알고 넘어가단 틀리기 쉬우니, 그냥 문장을 통째로 외웁시다. 손으로 다섯 번 정도 직접 써보세요. 이게 뜻이 같은 문장이 4개잖아요? 그래서 객관식에 답이 아닌 보기 하나를 더 추가해서 문제 내기가 참 좋답니다. 거의 뭐 1문제 정도는 무조건 나온..

오늘은 삼각형의 세 번의 길이를 알 때 넓이를 바로 구할 수 있는 공식을 알아볼 거에요. 여러분, 이렇게 세 변의 길이가 주어진 삼각형의 넓이를 어떻게 구하시나요? 당연히 높이가 필요하니까 수선의 발을 그려서 구하면 되겠죠? 밑변을 7이 아닌 6으로 두면, 계산이 좀 쉬워집니다만 어쨌든 꽤 복잡하네요. 그렇지만 오늘 배울 헤론의 공식을 안다면? 이렇게 두 줄만에 간단하게 넓이가 구해진답니다! wow! 어떤가요? 벌써 기대되시죠?ㅎㅎ 그럼 우선 헤론의 공식이 뭔지부터 알아보도록 해요. 헤론의 공식 헤론의 공식은 그리스 시대의 수학자 헤론(Heron)의 이름을 따서 만든 공식입니다. 삼각형에서 세 변의 길이를 알 때, 넓이를 구할 수 있는 공식이죠. 증명은 중2,3때 배우는 피타고라스의 정리와 곱셈공식만 사..

3-1학기 때 잠깐 배우지만 3-2학기부터 고3때까지 꾸준히 나오는 내용이 있습니다. 바로 오늘 배울 근호 안의 제곱을 절댓값으로 바꾸는 내용이죠. 이 내용은 이해하는 건 어렵지 않은데, 손에 익어서 문제를 풀기까지 연습이 많이 필요합니다. 그렇지만 계속 나오는 내용이니 한 번 제대로 익히고 가도록 해요! 사실 증명은 간단합니다. 근호안에 제곱으로 들어있는 수나 절댓값이나 둘 다 0보다 크거나 같으면 그냥 나오고 음수인 경우에는 -가 붙어 나오죠. 그래서 문제를 풀 때도 이렇게 절댓값으로 푸시면 됩니다. 처음 문제지에서 접할 때는, 숫자 위주로 식이 나오기 때문에 암산으로도 충분히 풀 수 있지만, 학년이 올라갈수록 근호 안이 복잡한 식으로 나오기 때문에 지금 제대로 풀고 가시는 게 좋습니다. 지금부터는 ..

중2때 정오각형의 일부분을 떼서 닮음인 걸 배우죠. 중3때 황금비 배우는 것과 연결시킬 수 있습니다. 오늘은 그 부분을 총정리 해볼까 해요. 황금비의 정의 길이 a+b인 선분을 길이가 a,b인 두 선분으로 나누었을 때, 선분의 길이비가 전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변 즉, (a+b):a = a:b를 만족하면 이 선분은 황금비 Φ=a/b로 분할되었다고 하고, 이 분할을 황금분할이라고 합니다. 그러니까 그림으로 그려서 살펴보자면, 전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변 (우측) 여기서 길이 비를 말하는 것이므로 b를 1로 두고 식을 세울수도 있죠. (좌측) 자 다시 정리해볼게요. 선분의 길이비가 전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변이면 이제부터 정오각형을 살펴보죠! 정오각형의 한 변 길이와 대각선 길이는 황금비를 ..

오늘은 기말고사 시험 대비로, 그래프 개형에 따른 이차함수 부호를 정리해볼까 합니다. 1. 일반형에서 a,b,c 정하는 법 아래와 같은 이차함수의 일반형에서 각 계수 a,b,c의 의미를 알아봅시다. ① a : 위/아래로 볼록을 결정 ② b : 축의 위치를 결정 그냥 왼쪽부터 '같다'라고 외우시면 됩니다. ③ c : y 절편을 결정 y축과의 교점의 y좌표를 보고 결정하시면 됩니다. x축 위에 있으면 0 x축 아래에 있으면 음수 x축 위에 있으면 양수죠 그럼 문제를 한 번 풀어볼까요? 문제1 아래와 같은 이차함수에서 a,b,c의 부호를 구하여라. 문제2 아래와 같은 이차함수에서 a,b,c의 부호를 구하여라. 2. 표준형에서 a, p, q 정하는 방법 이 경우는 간단하게 꼭짓점의 부호를 보면 됩니다. 바로 문..

시험 1번에 주로 나오는 개념을 정리하고 가봅시다! 수체계의 포함관계 중1때 유리수까지 배우죠. 중3때는 여기에 무리수를 더하여, 실수체계까지 배웁니다. 고등학교 진학 후에도 계속 나오니, 이 참에 정리해보고 가죠. 실수는 유리수 or 무리수입니다. 실수는 반드시 둘 중 하나에는 해당됩니다. 1. 실수는 유리수 + 무리수. 2. 유리수이면서 무리수인 수는 없고, 유리수도 무리수도 아닌 수 역시 없습니다. 무조건 둘 중 하나에요. 그리고 수의 표현방법으로 따지자면 유한소수 or 무한소수인데, 무한소수 중 순환소수는 유리수고 나머지는 모두 무리수입니다. 즉 무리수 = 순환하지 않는 무한소수죠. 정수나 자연수는 모두 유리수 안에 들어갑니다. 유리수나 무리수의 특성에 대해 묻는 문제. 특히 중2때 유리수를 많이..