삼각비의 특수각은 0º, 30º, 45º, 60º, 90º까지는 외워서 쓰죠.
그리고 미적분에서 삼각함수의 덧셈정리를 배우고 나면,
15º=45º-30º
75º=45º+30º
22.5º=45º/2
67.5º=45º+22.5º or 90º-22.5º
이런 식으로 특수각들로 만들 수 있는 다른 각도 삼각비의 값을 구할 수 있답니다.
그렇지만 오늘의 카테고리는 중등 3학년 삼각비!
그래서 도형으로 해당 값들을 유도해서 풀어볼거에요.
중3 삼각비 15도, 75도 유도
기본은 우리가 아는 30º, 60º, 90º로 이루어진 직각 삼각형과 직각 이등변 삼각형 두 개를 붙여놓은 걸로 시작합니다. 처음부터 미지수를 쓰면 눈에 잘 안 들어올 수 있으니 간단하게 숫자로 설명하고 일반화하도록 할게요!
아래 그림과 같이 BE=4로 두면 AB, AE는 특수각의 길이비로 구할 수 있고, 역시나 AE를 알기 때문에 AD와 DE도 구할 수 있습니다.
BFE와 FGE 역시 직각 이등변 삼각형이기 때문에 길이를 모두 구할 수 있습니다. 여기서 FEDC는 직사각형이므로 CD의 길이도 구할 수 있고, 이걸 AD에서 빼면 AC의 길이도 구할 수 있습니다.
그럼 ABC는 각이 15도, 75도인 직각삼각형이며 세 변의 길이비도 모두 알 수 있습니다. 그러므로 15도와 75도에 관한 sin, cos, tan 값을 모두 구할 수 있습니다.
어때요? 특수각의 길이비만 알면 금방 구할 수 있습니다. 이를 문자로 일반화 할 수도 있습니다.
이번에는 다른 모양의 삼각형으로 15도, 75도 삼각비를 유도해보도록 할게요.
변의 길이를 연장해서 이등변 삼각형을 만들어줍니다. 그러면 15º, 75º, 90º로 이루어진 직각삼각형이 만들어지죠.
그럼 이걸로 tan15º, tan75º를 아래와 같이 구할 수 있습니다.
이 도형으로 sin, cos을 구하려면,
빗변의 길이를 구하는 과정에서
이중 근호가 들어갑니다.
심지어 이중근호는 이제
수학(상)에서도 빠진지 오래라..
그래서 sin, cos도 구하려면
맨 처음 나온 모양을 이용하셔야 해요.
그렇지만 저는 포스팅 하는 김에
계산 해볼게요!
이중근호 푸는 법은 다음번에 기회되면 포스팅 하겠습니다만,
어차피 그게 중등과정은 아니었던지라..
이 모양으로는 탄젠트 정도만 구해도
충분하지 않을까 싶네요.
이번에는 22.5도와 67.5도를 구해볼게요.
삼각형 모양은 위와 똑같이 유도해서 그릴 겁니다.
빗변을 제외한 두 변의 길이비를 아니까
탄젠트 값을 구해줄 수 있습니다.
이등변 삼각형을 이용한 모양도 살펴볼게요.
이 경우는 직각 이등변 삼각형에다가 22.5도, 67.5도인 직각삼각형을 바로 옆에 붙여서 만들어줍니다. 그렇다면 밑각이 67.5도인 이등변 삼각형이 되죠.
역시나 특수각의 길이비 + 이등변 삼각형의 성질을 이용하면 탄젠트 값을 쉽게 구할 수 있습니다.
위에서 배운 내용을 한 번 정리해볼까요?
중등과정에서 유도하거나 나오는 삼각비는
아래 표 정도가 될 것 같습니다.
15도, 75도, 22.5도, 67.5도의 경우에는
단독으로 값을 알아야지만 쓸 수 있는
그런 문제가 출제 되기 보다는,
도형을 주고 물어보기 때문에
특수각을 이용한 해석만 잘 하시면
크게 걱정은 안 하셔도 될거에요.
선생님 왜 22.5도랑 67.5도는 사인/코사인 값은 구하지 않나요?라고 물어보신다면, 빗변의 길이가 좀 어.. 네 풀기 어렵기 때문이죠.
이중근호로 푼다고 하더라도, 정리해서 유리화 해서 쓰기가 만만치 않더라고요.
사실 22.5도 같은 경우 나중에 반각공식을 이용해도
제곱이라면 모를까 그냥 단독 활용은 음..
중고등 수학 내에서는 어렵지 않을까 싶네요.
중등 3학년 때, 삼각비 공부를 많이 해두면 나중에 고등학교 2학년 때 수학1을 학습하면서 도움이 많이 된답니다.
중3 2학기 내용은 고등학교 입시에 영향 덜하다고 대충 넘기고 고1 선행을 하지 마시고, (이러면 나중에 고2때 다시 중3 수학 해야 한답니다..?) 현재에 충실히 공부하시길 응원합니다.
그럼 열공하세요. ^^
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