오늘은 삼각형의 세 번의 길이를 알 때
넓이를 바로 구할 수 있는 공식을 알아볼 거에요.
여러분, 이렇게 세 변의 길이가 주어진
삼각형의 넓이를 어떻게 구하시나요?
당연히 높이가 필요하니까
수선의 발을 그려서 구하면 되겠죠?
밑변을 7이 아닌 6으로 두면,
계산이 좀 쉬워집니다만 어쨌든 꽤 복잡하네요.
그렇지만 오늘 배울 헤론의 공식을 안다면?
이렇게 두 줄만에 간단하게 넓이가 구해진답니다!
wow!
어떤가요? 벌써 기대되시죠?ㅎㅎ
그럼 우선 헤론의 공식이 뭔지부터 알아보도록 해요.
헤론의 공식
헤론의 공식은 그리스 시대의 수학자 헤론(Heron)의
이름을 따서 만든 공식입니다.
삼각형에서 세 변의 길이를 알 때,
넓이를 구할 수 있는 공식이죠.
증명은 중2,3때 배우는
피타고라스의 정리와 곱셈공식만 사용해서
해볼 거에요!
증명
우선은 한 꼭짓점에서 수선의 발을 내려서
직각삼각형 두 개를 만들어줍니다.
두 직각 삼각형에 각각 피타고라스 정리를 쓸 거에요.
둘 다 h가 공통변이네요.
h가 공통변이므로 연립을 하면,
x의 값을 구할 수 있습니다.
자, 이제 이 결과를 갖고
다시 h를 구해봅시다!
휴.. 힘들었네요.
이제 높이를 구했으니 a를 밑변으로 하고
삼각형의 넓이를 구해봅니다.
보통 세변의 합의 절반은 s라는 문자로 쓰지만,
제가 넓이로 사용한 문자 S와 혹시 헷갈릴까봐
일부러 p로 두었습니다.
최종적으로는 맨 처음 썼던
아래 공식을 외우시면 돼요.ㅎㅎ
자, 그럼 이제 증명 끝났으니
문제 풀러 가봅시다!
예제1
세 변의 길이가 5,6,7인
삼각형의 넓이를 구하여라.
맨 처음 도입부에서 나온 문제죠?
공식에 대입하면 매우 깔끔하게 나옵니다.
예제2
세 변의 길이가 6,7,8인
삼각형의 넓이를 구하여라.
합이 홀수여도, 좀 귀찮긴 하지만
헤론의 공식을 그대로 적용할 수 있습니다.
예제3
세 변의 길이가 각각 5√2, 6√2, 7√2인
삼각형의 넓이를 구하여라.
마찬가지로 적용할 수 있죠!
이 공식은 나중에 고등학교에서도
매우 유용하게 쓰이니
절대 까먹지 말고요..!
앞으로 서술형이 아닌 객관식에서는
헤론의 공식으로 후딱 풀고 넘어가도록 해요!
그럼 다음에도 유용한 포스팅으로 돌아올게요.!
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