중등수학/중등 3학년

[이차방정식 활용] 정오각형과 황금비 (황금삼각형, 사각형)

한량 지아이 2021. 7. 9. 21:30
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중2때 정오각형의 일부분을 떼서

닮음인 걸 배우죠. 

중3때 황금비 배우는 것과

연결시킬 수 있습니다.

 

오늘은 그 부분을 총정리 해볼까 해요.


황금비의 정의

길이 a+b인 선분을

길이가 a,b인 두 선분으로 나누었을 때,

선분의 길이비가

전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변

즉, (a+b):a = a:b를 만족하면

이 선분은 황금비 Φ=a/b로

분할되었다고 하고,

이 분할을 황금분할이라고 합니다.

 

그러니까 그림으로 그려서 살펴보자면,

전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변 (우측)

 

여기서 길이 비를 말하는 것이므로

b를 1로 두고 식을 세울수도 있죠. (좌측)

선분의 황금분할

자 다시 정리해볼게요.

선분의 길이비가

전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변이면

두 선분의 길이비는 황금비입니다.


이제부터 정오각형을 살펴보죠!

정오각형의 한 변 길이와

대각선 길이는 황금비를 이룹니다.

지금부터 증명해봐요!

 

말고도 정오각형 모양 자체가

문제로 나오는 경우도 있으니,

증명을 꼼꼼하게 보도록 해요.

 

일단 정오각형이므로

모든 각과 변의 길이가 같습니다.

 

① 각 : ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108 ˚

변 : AB=BC=CD=DE=EA

 

△ABE는 꼭지각이 108 ˚

이등변 삼각형입니다.

 

② 정오각형이므로 △ABE≡△BCA

모두 밑각이 36˚이므로

△FAB 역시 꼭지각이 108 ˚인

이등변 삼각형입니다. 

③ 같은 방식으로 △FBA와 △JAE의 각을

모두 표기하면, 

꼭지각이 36˚인 이등변 삼각형

△AFJ, △BCH, △ACD를 

찾을 수 있습니다.

정리!

정오각형 모양에서는 아래와 같이

이등변 삼각형 2개가 보이셔야 합니다.

(좌) 꼭지각이 108 ˚ vs 꼭지각이 36 ˚ (우)

그래서 이 두 닮음 삼각형을 이용하여

비례식을 세우는 게 핵심이죠.

꼭지각 108˚를 이용한 황금분할
꼭지각 76˚를 이용한 황금분할

둘을 합친다면 아래와 같이 나옵니다.

선분끼리 황금비를 이루죠.

 

가볍게 문제를 풀어봅시다.

 

예제1

x의 값을 구해봅시다.


유사 황금비 (A4용지 길이비)

황금비는 아니지만

가로/세로 길이비가 일정하게 유지되는

도형들이 있습니다.

 

우리가 자주 사용하는 A4 종이 용지가 그렇죠.

가로/세로 길이비는

반으로 접어도 항상 같습니다.

 

식을 세운 다음

두 변의 길이비를 비교하면,

아래와 같이 간단하게 나옵니다 :-)

 

어차피 비를 구하는 것이니

한 변의 길이를 1로 두고 풀면 됩니다.

예제2

다음 그림의 두 직사각형 ABCD와 FEBC는

서로 닮음이다.

 

AD=AE=1일 때, DC의 길이를 구하시오.

두 개의 직사각형의 길이를 설정 후,

비례식으로 풀면 됩니다.

 

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