오늘은 이항계수의 성질 중
제곱의 합으로 된 부분을 살펴보겠습니다.
보통 책에서 성질의 증명을 모두 다
항등식의 계수로 설명을 해두는 편이라
처음 배울때 이해가 잘 안된다는
의견이 많더라구요.
그래서 이해하기 쉬운
예시 위주로 설명해볼까 합니다.
예시
남자 10명, 여자 10명 있는 반에서
청소를 할 10명을 고른다고 합시다.
전체 20명 중에서 10명을 뽑는 것이니,
20C10이 됩니다.
이 경우를 좀 더 상세하게 나눠볼까요?
10명을 뽑는 경우는
1. 남 0 & 여 10
2. 남 1 & 여 9
3. 남 2 & 여 8
.
.
.
10. 남 0 & 여 10의 총 10가지 경우를
각자 계산해서 다 더한 것과 같습니다.
그런데 조합 C의 성질
덕분에, 이를 제곱으로 표현할 수 있죠.
일반화
남자 n명, 여자 n명인 반에서
n명을 뽑는 경우의 수를 구해봅시다.
전체 2n명 중 n명을 택하는 것이므로
2nCn입니다.
여기서, 남자/혹은 여자의 숫자를 기준으로
식을 나누어본다면
1. 남0, 여n
2. 남1, 여n-1
3. 남2, 여n-2
.
.
.
n. 남n, 여0
의 모든 경우를 더한 것과 같습니다.
여기서 같은 식은 제곱으로 표현해주면,
위와 같은 식이 나옵니다.
형태 자체를 외워주시는 게 중요합니다!
같은 논리를 이용하여,
다른 식 하나도 살펴 봅시다.
예시2
남자 15명, 여자 20명 있는 반에서
10명을 뽑는다고 해봅시다.
남녀 35명 중 10명을 뽑으니
35C10이 됩니다.
경우를 쭉 나눠서 더하면
위와 같은 식이 나옵니다.
이건 제곱꼴과 달리
더 이상 정리는 안되네요.
그렇지만 식의 형태 자체는
볼 줄 알아야 합니다.
물론 항등식을 이용해서,
계수로도 아래와 같이 설명 가능합니다.
오늘 배운 부분 중
제곱꼴은 시험에서
굉장히 잘 나오기 때문에
꼭 학습하고 가야 합니다.
그럼 다음에도 유용한 포스팅
들고 올게요.^^
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