고등수학/고등수학(상)

길이비를 내/외분점으로 고치는 방법 (선분의 내분점,외분점 활용)

한량 지아이 2022. 1. 2. 16:42
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오늘은 선분의 내분점/외분점 문제 중 가장 많이들 헷갈려하는 선분의 길이비를 다룰까 합니다. 

내분, 외분에 대한 정확한 정의와 개념이 없으면 풀기가 힘든 유형이죠. 공식보다는 선분을 m:n으로 내분/외분 한다는 의미를 먼저 복습하셔야 합니다. 

 

1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다.

이 때 필요한 선행지식은 

a:b=c:d이면 bc=ad라는

기본적인 것이죠 :-)

 

2. 좌표를 알고 있는 점을 찍고

등분점으로 나타냅니다.

 

3. 남은 점을 좌/우로 나누어

해당 길이비에 맞게 찍어준다.

 

4. 내/외분점으로 해석하여,

공식을 적용한다.


문제1

A(5,-2), B(-1,4)를 지나는 직선 AB위에 있고,

를 만족시키는 점 C의 좌표를 모두 구하시오.


 

해설

1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다.

를 비례식으로 나타낸다면,

 

2. 좌표를 알고 있는 점을 기준으로

등분점으로 나타냅니다.

 

여기서는 A와 B의 좌표를 알고 있으니

A,B를 표기해보도록 할게요.

비례식에서 AB의 길이비가 3이므로

수직선에 세 칸(등분점)을

표기하여 줍니다.

 

3. 다시 식을 살펴볼까요?

AB의 길이가 3칸일 때,

BC의 길이는 1칸이죠.

그러니, B로부터 한칸에 해당하는 길이만큼

왼쪽/오른쪽으로 가서 점을 나타내면 됩니다.

완성!

4. 내/외분점으로 해석하여,

공식을 적용합니다.


문제2

A(-3,-2), B(1,4)를 지나는 직선 AB위의 점

C(a,b)에 대하여 3AB=2BC일 때,

b-a의 값을 구하여라. (단, a>0)


 

해설

1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다.

를 비례식으로 나타낸다면,

2. 좌표를 알고 있는 점을 기준으로

등분점으로 나타냅니다.

 

여기서는 A와 B의 좌표를 알고 있으니

AB의 길이비가 2이라고 보고

수직선에 등분점과 함께 나타냅니다.

3. 남은 하나의 점을

왼쪽/오른쪽으로 나누어

해당 길이비에 맞게 찍어줍니다.

그러니까 B로부터 세칸에 해당하는 길이만큼

왼쪽/오른쪽으로 가서 점을 나타내면 됩니다.

4. 내/외분점으로 해석하여,

공식을 적용합니다.


문제3

두 점 A(-4,3), B(2,6)을 잇는

직선 AB위의 점 C(a,b)에 대하여

삼각형 OAC의 넓이가

삼각형 OBC의 넓이의 2배일 때,

a+b의 값은?

(단, O는 원점이고 a>0이다.)


이것 역시 그림으로 그려서 해석하면,

점 C가 AB의 2:1 외분점입니다.

 

그럼 화이팅!

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