원에서 접선은 가장 힘든 부분이죠.
오늘은 그 중에서 그나마
쉽게 구할 수 있는 접선을 배워볼거에요.
바로 원 위의 점에서 그은
접선의 방정식입니다.
우선은 공식을 먼저 증명해주고,
외워서 푸는 과정을 연습해보도록 해요.
기본적으로 접선도 직선이므로
기울기와 지나는 한 점을 알면
구할 수 있습니다.
아래 증명법은 읽어 보시되,
실제로 문제를 풀 때는
결과로 나오는 공식을 반드시 암기해서
바로 푸셔야 합니다.
Case1) 중심이 원점이고, 반지름이 r인
원 위의 점 (a,b)에서 그은
접선의 방정식 구하기
그림으로 그리면 대충 이런 모양이죠.
이제 증명 해보겠습니다.
우선 보조선을 그어줍니다.
기본적으로 원에서 '접선'이 나온다고 하면
1) 접점과 중심을 이은 선이
접선과 수직임을 표기
2) 중심부터 접점까지의 거리가
반지름 인 것을 표기
요 두가지는 반사적으로 돼야 합니다.
뭐.. 사실 이번 증명에는
1)만 이용되긴 합니다.ㅎㅎ
증명 자체가 어렵지는 않죠?
그렇지만 매번 유도한다면 귀찮으니
공식을 외워서 바로 사용하도록 하세요.
원 위의 접선 공식 적용할 때는
이렇게 합시다.
그럼 지금부터 같은 방법으로 문제를 풀어볼까요?
문제 1
중심이 (0,0)이고 반지름이 5인
원 위의 점 (3,4)에서 그은
접선의 방정식을 구하여라.
문제2
중심이 (0,0)이고 반지름이 10인
원 위의 점 (6,-8)에서 그은
접선의 방정식을 구하여라.
문제3
중심이 (0,0)이고 반지름이 3인
원 위의 점 (-1,2√2)에서 그은
접선의 방정식을 구하여라.
이번에는 중심이 원점이 아닌 원 위에서의
접선의 방정식을 구해볼게요.
구하는 방법은 원점과 동일합니다.
다만 원하는 모양을 만들어주려고
식을 좀 변형했어요.ㅎㅎ
그러니 이것도 잘 보시고
결과로 나오는 공식을 외워서 쓰도록 해요!
Case2) 중심이 (m,n)이고, 반지름이 r인 원
위의 점 (a,b)에서 그은 접선의 방정식
사실 이렇게 유도하지 않고 평행이동을 써서
원점에서의 접선을 구한다음
다시 옮겨도 되는데
그냥 그것도 귀찮아서
증명을 해버렸습니다.
이제부터는 그냥 공식 외워서 쓰세요!
쓰는 방법은 똑같습니다.
문제도 같은 방식으로 푸시면 됩니다.
문제 4
중심이 (1,2)이고 반지름이 5인
원 위의 점 (4,5)에서 그은
접선의 방정식을 구하여라.
이 부분은 공식 유도보다
문제를 봤을 때 바로 파악하여
공식을 쓸 수 있느냐!!가 중요합니다.
그럼 열심히 연습하도록 해요!
'고등수학 > 고등수학(상)' 카테고리의 다른 글
| 96%의 학생이 틀리는 방정식, 부등식 문제 (0) | 2022.01.09 |
|---|---|
| 길이비를 내/외분점으로 고치는 방법 (선분의 내분점,외분점 활용) (0) | 2022.01.02 |
| [원 접선의 방정식] 극선의 방정식 (0) | 2021.06.26 |
| 삼차방정식 f(ax+b)=0의 근에 관한 문제 (합,곱 쉽게 풀기) (0) | 2021.06.11 |
| 삼차방정식 - 역수를 근으로 갖는 방정식 외 기타 (0) | 2021.05.31 |