오늘은 삼차방정식에서
f(ax+b)=0꼴의 근에 대한
여러 문제를 좀 풀어볼까 합니다.
우선 아래 관계식을 한 번 살펴봅시다.
증명자체는 간단합니다.
애초에 방정식의 '근'이라는 것이
식을 참으로 만드는 x의 값이니까요.
즉 f(x)=0의 세 근이 α,β,γ라면
식의 x자리에 α,β,γ를 넣었을 때
성립한다는 뜻이죠.
여기서 f(cx-d)=0의 근을 한 번 추론해봅시다.
f라는 식은 (괄호)안에 α,β,γ가 들어가면
0이 나오는 식입니다.
그렇다면 (괄호)안에 들어있는
(cx-d)라는 식이 α,β,γ가 되면
참이 되겠죠?
이걸 그대로 정리만 해주면 됩니다.
방정식에서 '근'을 물어본다는 건,
결국 x가 뭐냐고 묻는 것이니까,
x라는 문자에 관해 정리해주면 되는 것이죠.
간단하죠?
사실 이 부분은 이차방정식을 배울 때도
나오는 내용이에요.
다만, 어떻게 풀건
쉽게 해가 나오는 이차방정식과 달리,
삼차방정식부터는 근을 구하기가
조금 더 힘든 편이므로,
이 관계식을 잘 이용하시면
문제가 쉽게 풀립니다.
그럼 아래 문제들을 한 번 풀어볼까요?
문제1
문제2
계수가 실수이므로 일단 두 근이
3+4i, 3-4i인 건 쉽게 알 수 있습니다.
이 때 바로 대입하기 보다는,
문자로 치환해서 보시면 좀 더 풀기 편해요.
문제3
계수가 유리수이므로
P(x)의 세 근을 알 수 있습니다.
그리고 우리가 구해야 하는 식도
P(2x-1)=0임이 쉽게 보이죠.
해를 미지수로 설정해놓고,
관계식을 살펴보면 쉽게 풀립니다.
해를 구하는 것이 익숙하지 않다면,
아래 예시들을 보고 연습해보세요.
이 관계는 나중에 부등식이나
더 높은 고차 방정식에서도
동일하게 사용이 가능하답니다.
그럼 다음에도 유용한 포스팅 들고 올게요.
'고등수학 > 고등수학(상)' 카테고리의 다른 글
원 위의 점에서의 접선 빨리 구하는 팁! (2) | 2021.09.02 |
---|---|
[원 접선의 방정식] 극선의 방정식 (0) | 2021.06.26 |
삼차방정식 - 역수를 근으로 갖는 방정식 외 기타 (0) | 2021.05.31 |
계수가 대칭인 상반방정식 (대칭형 사차방정식) 푸는 방법 (0) | 2021.05.08 |
곱셈공식, 인수분해 - 문자 세 개인 경우 총 정리 (0) | 2021.04.01 |