삼차방정식 - 역수를 근으로 갖는 방정식 외 기타

이전에 이차방정식을 배우면서

계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을

배웠던 것 기억 나시나요?

 

근이 역수거나, 음수인 경우에는

금방 구할 수 있었죠.

 

만약 기억이 안 나신다면

아래 포스팅을 꼭꼭 복습해주시구요..!

 

https://ladyang86.tistory.com/45

[이차방정식 꿀팁] 역수를 근으로 갖는 방정식 빨리 구하는 방법

오늘은 이걸 확장해서

삼차방정식인 경우에도 구해볼 거에요.

 

객관식인 경우에는

아래와 같이 바로 구하시면 됩니다.

삼차방정식은 최고차계수에 따라

그냥 둘 다 실어놓은거라,

사실은 식이 그냥 3개입니다.ㅎㅎ

 

물론 그냥 외워!는 아니고,

왜 그런지 지금부터 설명 해드릴게요!

 

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1. 역수를 근으로 갖는 삼차방정식 구하기

자 차근히 식을 써보면서 따라 와요!

항의 순서를 거꾸로 써서

정리해볼게요.

괄호를 이용하여 표현해보겠습니다.

제곱형태도 정리해준다면 이렇게 되겠네요.

아니 이것은!!

이렇게 생긴 방정식의 

위와 같은 방법을 사용한다면

나머지 근들도 증명할 수 있습니다.

 

즉, 계수의 순서를 반대로 쓴 방정식은,

원래 방정식 근의 역수를 근으로 갖습니다.

 

실전연습 한 번 해볼까요?

어차피 방정식의 양변에 같은 수를 곱해도

성립하기 때문에,

계수는 조금씩 변형돼서 나올 수 있어요.

 

2. 부호가 다른 근을 갖는 삼차방정식

기본식에서 동일하게 시작합니다.

마이너스 x 마이너스=플러스이므로,

x=-(-x)꼴로 변형해줍니다.

관찰을 한 번 해보죠.

위 식은

계수에 마이너스 부호가 붙어있음

보기 좀 별로니(?)

양변에 -1을 곱해서 정리해봅시다.

 

어차피 등식의 성질에 의해

등호가 성립하므로 근에는 변화가 없습니다.

계수가 +-+- 혹은 -+-+과 같이

부호가 번갈아가며 반대로 나오는 경우,

원래 방정식 근에 -를 붙인 값을 근으로 갖습니다.

 

실전 연습 한 번 해보죠.

삼차부터는 이차와 달리, x 대신 -x 대입시,

최고차 계수의 부호가 달라지기도 하고,

중간에 이차항이나 일차항 계수가 0인 경우도

있기 때문에 꼭 꼼꼼하게 검토 해보세요.

 

3. 역수에 부호도 반대인 근을 갖는 삼차방정식

위에서 배운 둘을 잘 섞어주시면 됩니다.

즉, 계수를 역방향으로 쓴 다음,

+-+- 혹은 -+-+ 

계수의 부호를 번갈아가며

바꿔주면 됩니다.

 

연습문제

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오늘 배운 내용을 복습해볼까요?

사실 이 원리는 모든 다항방정식에 적용됩니다.

사차,오차 그 이상의 고차방정식에도

동일하게 적용되죠.

 

n차로 두신 다음 같은 방식으로 증명한다면

성립하는 것을 보일 수 있어요.

 

그럼 이제 마음놓고 편하게 쓰시고,

전 다음에도 유용한 포스팅으로 찾아올게요.

 

그럼 안녕~!