계수가 대칭인 상반방정식 (대칭형 사차방정식) 푸는 방법

오늘은 계수가 대칭인 사차방정식을 

풀어볼게요. 

 

일반적으로 사차방정식을 풀 때는

삼차방정식과 동일하게 이차식까지

최대한 인수분해하여 풀면 됩니다.

 

그런데 말입니다-

고1때 나오는 대부분의 삼차방정식은

조립제법을 사용하면 다 풀리는데,

사차는 조립제법을

사용 못하는 경우도 있어요.

 

이유는 오늘의 포스팅을 보시면

이해가 되게끔 

아래에서 설명해 놓았습니다.!

 

우선은 계수가 대칭인 사차방정식을

푸는 일반적인 방법을 설명해볼게요!

 

알고리즘대로 차근히

따라서 푸시면 됩니다.

자, 아래 문제를 직접 풀어볼까요?

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문제1

쌤, 그냥 조립제법 쓰면 안돼요?

이런 생각이 들 수 있죠.

 

실제로 위의 방정식은

아래와 같이 조립제법으로 

손쉽게 풀립니다.

뭐.. 위처럼 인수가 바로 보인다면,

조립제법으로 바로 푸시면 됩니다.!

 

인수를 하나 찾았다면

(일차) x (삼차)의 꼴로 나타낸 거라,

뒤의 삼차 방정식은 

항상 조립제법 쓸 수 있습니다.

 

삼차방정식은 항상

삼차 = (일차) x (이차)

꼴로 나오기 때문에

고1 수준에서 다루는 문제에서는

조립제법을 쓸 수 있다고 봐도 되죠.

 

그런데 만약 사차방정식이

(이차) x (이차)의 꼴로만

인수분해 된다면

조립제법을 쓰기 힘듭니다.

 

이건 설명보다는 직접

문제를 한 번 풀어보도록 할게요!

 

문제2

1과 -1 둘 다 대입해보면,

성립하지않아 근이 아니기 때문에,

조립제법을 쓸 수가 없습니다.

 

이런 경우에는 오늘 배운

대칭형 방정식 푸는 방법으로

풀어주셔야 해요.

근의 형태를 보면,

왜 조립제법을 못 쓰는지 감이 오시죠?

 

이 문제의 경우에는

사차방정식이 (이차) x (이차)의 꼴로만

인수분해 되는 경우입니다.

 

그래서 조립제법을 쓸 수가 없죠.

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오늘 다룬 계수가 대칭인 사차방정식을

대칭 상반방정식이라고 부르는

교재도 아마 있을 거에요. 

 

그래서 다루는 김에

상반방정식이라는 용어를

가볍게 설명해볼게요.

 

역수를 근으로 갖는 방정식을 

어떤 방정식의 상반방정식이라고 합니다.

역수를 근으로 갖는 방정식이라니..

어디서 본 것 같죠?

 

이차방정식 배울 때도 다루었으니

혹시 모르는 내용이라면

아래 포스팅 보면서 공부하도록 해요.

ladyang86.tistory.com/45

[이차방정식 꿀팁] 역수를 근으로 갖는 방정식 빨리 구하는 방법

다시 오늘의 대칭 사차방정식을 보면,

상반방정식을 구했을 때,

원래 방정식과 동일하게 나옵니다.

 

그래서 근 사이의 관계까지 유추해보면,

두 근과 그 역수근을 같이 갖는 형태죠.

 

그래서 대칭 상반방정식에서는,

근들의 곱이 항상 1입니다.

실근끼리, 혹은 허근끼리 곱해도 1이고,

다 곱해도 1입니다.

 

오늘 풀어본 문제에서도 

구한 근끼리 모두 역수임을 알 수 있어요.

 

그래서 보통은 곱보단 합을 물어보죠.

 

다음에 상반방정식 관련해서 

삼차 이상의 다항식을 다루는 포스팅도

곧 올라올 예정이니 기대해주세요!

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cf)

만약 오차 상반방정식이라면

해당 상반방정식에 x=-1을 대입하면 주어진 방정식이 성립합니다.

즉 이 방정식의 좌변은 x+1=0을 인수로 가지므로 (x+1)f(x)=0꼴로 변형하여

f(x)=0을 사차 상반방정식으로 푸시면 됩니다!