곱셈공식의 변형 - (문자가 2개인 경우, 거듭제곱)

오늘은 문자가 2개인 경우,

 

거듭제곱꼴이 나올 때를

다루어볼거에요.

 

싹 다 곱셈공식의 변형으로

풀어보겠습니다.

이거 다 해볼거에요!

위의 11개식 다 유도할 줄 알면,

여기서 뒤로 가셔도 됩니다.^^

 

아니라면 같이 공부해요!

유도해야 할 식이 많으니,

전부 X+Y=3,  XY=2일 때로 둘게요.

 

하나씩 해봅시다.

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가장 기본적인 곱셈공식의 변형입니다.

공식을 사용해서 바로 풀면 됩니다.

이거 모르면 뒷 문제 풀지말고

아래에 링크 걸어둔 

중3용 곱셈공식의 변형부터

복습하고 돌아옵시다.

ladyang86.tistory.com/87

곱셈공식의 변형 연습용 문제 모음

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역시나 가장 기본적인

곱셈공식의 변형입니다.

공식을 사용해서

바로 풀면 됩니다.

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여기서부터는 곱셈공식을 따로 외우지는 않습니다.

직접 유도해서 풀면 생각보다 간단합니다.

네제곱은 제곱을 제곱하면 됩니다.

이렇게요-

그래서 유도는 제곱 유도하는 것과 동일하게 하시면 됩니다.

정리를 해보면 이렇게 됩니다.

그렇지만 뭐.. 굳이 외우진 마시고,

유도해서 쓰시거나,

아니면 치환해서 정리하면 되겠죠?

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이것도 유도해봅시다.

일단은 5제곱이 되려면

2제곱과 3제곱을 곱하면 되겠군요.

 

두 식을 곱해서 전개를 해봅니다.

필요한 걸 제외한

나머지 항을 정리해볼까요?

이건 구하는데 필요 없는 식이니

넘겨주면 됩니다. 

그러면 완성되네요!

앞에서 이미 ①②로 값을 구한 게 있으니, 

이제 대입하면 됩니다.

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이것도 유도해봅시다.

일단은 6제곱이 되려면

ⓐ 2제곱을 세제곱하거나,

ⓑ 3제곱을 제곱하면 되겠군요.

 

두 가지 방법 모두 해봅시다.

 

ⓐ 2제곱을 세제곱

위에서 유도한 세제곱 공식을 적용합시다.

ⓑ 3제곱을 제곱

개인적으로 이쪽이 좀 더 쉬운 것 같아요.

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이건 5제곱과 마찬가지입니다.

거듭제곱으로 바로 유도가 어려우니,

이미 알고 있는 값을 이용하여

형태를 만들어줍니다.

 

7제곱은 3제곱과 4제곱을 곱해서

만들어줄 수 있겠죠?

가운데 식은 공통 인수가 보이니

묶어서 정리를 해줍시다.

구해야 하는 식을 제외하고

다 이항해서 정리해줍니다.

대입해서 계산해주면 됩니다.

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사실 굳이 7제곱까지는 안 나오지만,

유도과정을 보여주기 위해서

다 해봤습니다.

 

이번엔 뺄셈을 한 번 살펴볼까요?

가장 기본적인 값입니다.

이걸 알아야 뒤쪽의 값을 다 구할 수 있어요.

그렇지만 이건 제곱을 구한다음

루트를 씌우는 거라,

기본적으로 값이 2개 나옵니다. 

중3때 배우는 곱셈 공식이죠.

제곱해서 1이 되는 수는 1, -1 두 개이므로,

x-y=±1 두 개입니다.

여기서 x>y이면 1이고, x<y라면 -1이 됩니다.

만약 x,y의 대소관계가 안나와 있다면

반드시 둘 다 쓰셔야 합니다.

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중3때 배웠던 인수분해를 이용합니다.

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외워줬던 곱셈공식을 사용합니다.

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합차공식을 이용하여 풀어줍니다.

(합차는 짝수차수에는 모두 이용가능합니다.)

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이것도 직접 유도해서 푸시면 됩니다.

단 가운데 부호가 뺄셈이므로,

하나는 -, 하나는 +인 두 식을 이용해줍니다.

 

이런 식으로요-

방법은 외울필요가 없고,

위에서 합 유도하듯이 전개후,

적절히 이항해서 정리하면 됩니다.

 

방법1,2는 우선 두 개만 실은거고,

다양하게 유도해서 쓰시면 됩니다.

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합차형태를 배우는 이유는

주어진 두 수가 켤레수처럼

합과 곱은 간단한데

직접 대입이 어려운 경우에

사용하기 위함입니다.

 

마지막 연습문제 하나만 더 풀어볼게요.

x와 y는 무리수부분 부호만 다르네요.

x+y=6, xy=1로 합과 곱이 간단하죠.

 

주어진 식의 순서만 바꾼다음,

곱셈공식의 변형을 이용해줍니다.

따라서 구하는 값은 238입니다.

 

세제곱 할 줄 안다고, 직접 거듭제곱하면

시간이 엄청 오래걸리니까

꼭 곱셈공식의 변형을 이용해서 푸세요.!