삼차함수의 접선이 곡선과 다시 만나는 점
오늘은 삼차함수에서 알아두면 매우 좋은 꿀팁 하나 알려드리려고 합니다. 바로 삼차함수의 접선이 다시 함수와 만나는 점에 관한 내용이에요.
삼차함수에서 접선과 함수가 다시 만나는 점의 좌표는, 세 근의 합을 이용하여 바로 구할 수 있습니다. :-) 이 유형은 은근 자주 쓰이기 때문에 꼭 익혀두시는 편이 좋습니다. 먼저 원리를 가볍게 증명하고 문제를 같이 풀어보도록 해요!
먼저 아래와 같이 삼차함수를 f(x), 접선을 g(x)라 두고, 접점의 좌표를 α(중근), β로 둡시다.
즉, 삼차함수와 일차함수의 교점이 α(중근), β입니다. 이는 두 함수식을 연립해서 근을 구하면 됩니다만, 그것도 귀찮기 때문에, 저희는 삼차방정식의 근과 계수와의 관계를 사용할 거에요!
여기서의 핵심은 g(x)가 일차식이기 때문에 f(x)의 삼차항, 이차항의 부호에는 영향을 주지 않는다는 점입니다. 즉, g(x)가 어떤 직선이 되든 간에, f(x)의 삼차항, 이차항 계수에는 영향을 주지 않아서, 세 근의 합은 항상 같죠.
즉, 한 근만 알면 나머지 근을 알 수 있습니다!
문제를 풀어보면서 좀 더 익혀보도록 해요.
문제1.
2014학년도 9월모평 A형 #27
세 근의 합이 0인데,
-1이 중근이므로
세 근은 -1, -1, 2
즉, 주어진 점은 (2,19)이므로
구하는 값은 21
문제2.
2013학년도 6월모평 나형 #17
세 근의 합이 0인데,
1이 중근이므로
교점의 x좌표는 1,1,-2
즉, B의 x좌표는 -2이다.
B(-2,2)이므로
선분 AB의 길이는 3√5
문제3.
2013년 10월학평 A형 #20
세 근의 합은 항상 0
A에서 접선을 그으면 -1이 중근이므로
B의 x좌표는 2 (즉 b=2)
B에서 접선을 그으면
2가 중근이므로
C의 x좌표는 -4 (즉 c=-4)
따라서
f(b)+f(c) = 8+2a+(-64-4a) = -2a-56 = -80이므로
a=12
문제4.
2023년 발매 수능특강 수학2 Ch4 Lv3 #1
삼차함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때,
f(4)의 값은?
(가) 함수 y=f(x)의 그래프는 x=0에서 x축에 접한다.
(나) 곡선 y=f(x) 위의 점 (-2, f(-2))에서 접하고
기울기가 1인 접선이 점 (2, f(2))를 지난다.
영상으로 보는 게 편한 분들은 아래 유튜브 시청하시면 됩니다.!
삼차함수의 경우에는 빠르게 문제를 풀 수 있는 꿀팁들이 많으니 꼭 하나씩 다 익혀주세요!
그럼 다음에도 유용한 정보로 돌아오겠습니다.
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