해석 기하를 처음 배울 때 같이 나오는 삼각형 중선 정리에 대해 다뤄볼까 합니다. 파푸스의 정리라고도 불리죠.
모든 삼각형에서 성립하는 거고, 공식 자체는 아래와 같습니다.
삼각형 중선 정리 증명 (해석 기하)
먼저 간단하게 증명을 해볼게요. 파푸스의 정리(=삼각형의 중선 정리) 증명은 삼각형을 좌표평면으로 옮겨서 하면 됩니다.
증명 자체는 쉬운 편입니다. 사실 요즘 교육과정에서 내용이 많이 축소된 편이라, 이 정도만 다루는 학교도 꽤 많은 걸로 알고 있어요. 뭐.. 이걸 왜 배우나 싶지만 의외로 좌표 평면에서 문제 풀 때 종종 나온답니다.
증명이야 그냥 좌표 옮겨서 하면 되는 거니 별로 어렵지 않고, 적어도 공식은 잘 기억해야 합니다.
길이나 중점 나올 때 주로 쓰이고, 내/외분점이랑도 연결돼서 여러 번 나오거든요. 제곱 최솟값 쓰는 문제로 연결돼서 나오기도 하니, 아래에는 관련된 예제를 몇 개 풀어볼게요.
시중 문제지 혹은 학교 내신 시험에서 갖고 왔답니다.
문제 1
한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC의 한 변 AC 위에서 점 P가 움직일 때, BP² + CP²의 최솟값은?
그림으로 그려본다면 대충 이런 상황이죠.
아래와 같이 문제에서 물어보는 걸 그림으로 나타내 보면 중선 정리 쓰는 문제라는 걸 알 수 있습니다.
MC=2로 고정이니 PM이 최소가 되는 것만 찾으면 되죠!
P가 AC 위를 움직이는 점이므로 M에서 AC까지 수선의 발을 내리시면 최단거리가 되겠죠?
직선의 방정식 굳이 구하지 않아도, 주어진 도형이 정삼각형이므로 특수각을 이용하시면 바로 길이를 구할 수 있습니다.
문제 2
점 P가 중심이 (0,0)이고 반지름이 1인 원 위를 움직일 때, 좌표 평면 위의 두 점 A(4,3), B(2,5)에 대하여 PA² + PB² 의 최댓값을 구하시오.
역시나 문제의 상황을 먼저 그래프로 나타내 봅시다.
이것도 결국은 중선 정리를 쓰면 깔끔하게 풀린답니다.
문제에서는 최댓값을 물어봤지만,
최대/최소를 모두 염두에 두고 풀어봅시다.
정점으로부터 원 위의 점까지의 거리의 최대/최소를 물어보는 문제인데, 사실은 중선 정리를 알아야 깔끔하게 풀리죠.
문제 3
좌표평면 위의 점 A(4,1)를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 ABC의 무게중심이 점 G(1,1)이다. 변 BC위의 한 점 P에 대하여 PA² + PB²의 값이 최소일 때, 삼각형 APB의 넓이는?
먼저 주어진 상황을 나타내 봅시다.
무게중심과 꼭짓점이 둘 다 y=1 위에 있네요.
그 말은 다른 두 점 B, C의 x좌표가 같겠죠?
이제 선분 BC 위에서 움직이는 P를 생각해봅시다.
물어보는 내용을 써보면 역시나 중선 정리를 쓰면 손쉽게 구해집니다.
PM이 최소가 되려면 M에서 BC로 수선의 발을 내리면 됩니다.
그러면 P가 BC의 4등분점이 되므로 전체 넓이의 1/4이 되죠.
꼭짓점으로부터 무게중심까지의 거리가 나와있으니 이걸 이용하여 정삼각형의 넓이를 구하실 수 있습니다. 혹시 공식 기억 안나시는 분 있을까 봐 풀이에 같이 써두었어요.
어때요? 중선 정리 생각보다 활용도가 다양하죠?
사실 내/외분점이랑 섞어서도 다양하게 낼 수 있답니다. 이건 스튜어트 정리라고 일반화된 정리가 있지만, 그냥 중선 정리 여러번 겹쳐서 쓰는 걸로도 일반적인 문제는 충분히 풀 수 있어요. 이건 다음에 다뤄보도록 할게요.
그럼 열공하시고, 중선정리 공식이라도 꼭 외워두세요.!
* 2020 정화여고 #11 추가 예정. (코사인법칙 보다 중선정리가 편함)
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