[확률] 수학적 확률 - 로또 1등 당첨 될 확률은 1/2이다. 왜냐하면 되거나, 안되거나 둘 중 하나니까.

 

A : 로또 1등에 당첨될 확률은 1/2이야.

왜냐면 1등 당첨이 되거나 안되거나

둘 중 하나기 때문이지.

 

B : 바보냐? 로또 1등에 당첨될 확률은 1/6이야.

1등, 2등, 3등, 4등, 5등이 되거나 꽝이 되는 경우

요 여섯개 중에 하나니까!!

 

언뜻 들으면 말도 안되는 소리란 건 알겠지만,

왜 아닌지 논리적으로 반박하기가 쉽지 않죠.

 

오늘은 이 예시가 왜 틀렸는지

수학적 확률을 통해 알아봅시다.

 

---

수학에서 확률이란 

어떤 사건이 일어날 가능성을 수치로 나타낸 것입니다.

 

우선은 고등학교 확률과 통계에서 사용하는

용어를 가볍게 정리해보고 갑시다.

 

시행 : 같은 조건에서 반복할 수 있고,

그 결과가 우연에 의하여 결정되는 관찰이나 실험

 

표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 

모든 결과 전체의 집합

 

사건 : 표본공간의 부분집합

 

근원사건 : 표본공간의 부분집합 중에서

한 개의 원소로 이루어진 사건

 

중학교와 달리 고등학교에서의 확률은

고등수학에서 학습한 '집합'으로 접근해야 합니다.

 

표본공간, 사건 모두가 다 집합으로 표현되므로, 
덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률까지  
집합의 연산에서 사용된 성질을 그대로 쓰죠.  

 

자, 이제 확률을 살펴봅시다.

 

아래는 우리가 일반적으로 자주 쓰는

수학적 확률입니다.

수학적 확률은 어떤 시행에서

“각각의 근원사건이 일어날 가능성이

같은 정도”로 기대될 때, 사용합니다.

 

이 부분이 아주 중요합니다.

수학적 확률은 근원사건이 일어날 가능성이 
같을 때에만 사용할 수 있는 방법입니다.

 

예를 들어볼까요?

주사위를 던졌을 때 1의 눈이 나올 확률을

일반적으로 1/6로 계산하죠? 

 

이건 표본공간 S={1,2,3,4,5,6}으로 구성했을 때,

주사위가 정육면체라서 

1이 나올거라고 보는 가능성과

6이 나올거라고 기대하는 정도가 같기 때문입니다.

 

이렇게 생긴 직육면체 주사위를 생각해봅시다.

저런 주사위에 1부터 6까지를 써두면,

표본공간 S={1,2,3,4,5,6}이 되죠.

그러나 주사위 각 면의 면적이 다르기 때문에

1이 나올거라는 가능성과

2가 나올거라는 가능성이 다릅니다.

이럴 때는 확률이 1/6이라고 볼 수 없죠.

 

윷놀이 할 때가 좋은 예시입니다.

윷은 생김새가 다르기 때문에,

평평한 면이 나오는 것과,

볼록한 부분이 나오는 것을

같다고 기대하고 수학적으로 볼 수 없습니다.

---

위의 로또 1등 당첨 확률이 말도 안되는 이유

이제 파악하셨죠?

 

A : S={1등 당첨됨, 1등 당첨되지 않음}

B : S={1등, 2등, 3등, 4등, 5등, 꽝}

으로 표본공간을 구성했습니다.

여기까지는 그럴 수 있죠.

로또 당첨은 시행이 맞고, 

두 표본공간은 나올 수 있는 결과 모두니까요.

 

다만, 각각의 근원사건이 기대되는 정도가

같냐는 부분에서 잘못된 겁니다.

 

1등이 당첨될거라고 기대하는 정도와,

당첨이 안될거라고 기대하는 정도가 같지 않아서

이렇게 확률을 구하시면 안 됩니다.

 

그럼 올바르게 구해볼까요?

로또 1등이 되려면 45개의 공 중 6개를 뽑았을 때

공이 뽑히는 순서와는 상관없이 

숫자가 일치하면 됩니다.

 

표본공간을 직접 구성해본다면 

S={123456,123457,123458, ..., 404142434445}

이정도가 되겠네요.

 

근원사건을 살펴볼까요?

각각의 공이 크기가 동일하므로,

뽑힐 거라 기대하는 정도는 같겠네요.

 

즉, 1,2,3,4,5,6이 뽑힐거라고 기대되는 정도와

40, 41, 42, 43, 44, 45가 뽑히는 경우가 같네요. 

 

A가 1등 당첨이 되는 경우라고 한다면,

n(S) = 45C6이 되고, n(A) = 1이 되겠군요.

로또 1등 당첨될 확률

계산은 계산기로 했습니다...

로또 1등 당첨확률은 수학적으로 1/8145060이네요.

810만분의 1입니다.

 

이렇게 희귀한데 어떻게 당첨자가 몇 명씩 나오냐!!

그거야 당연히 판매량이 많으니까요...

 

그리고 로또는 독립시행이기 때문에,

번호 예측 이런 거 소용이 없습니다..^^

 

이렇게 말하는 저도 가끔 주기적으로

로또를 구매하긴 하지만,

진지하게 당첨이 될 거라고 생각하진 않지만

1등이 되고 싶네요.

하하.

 

---

그럼 다음 시간에 또 재밌는 소재로 만나요!