극한 근사 - 사인법칙, 문제 풀이 (20년 6월 28번, 21년 9월 28번)

 

θ가 0으로 갈 때의 극한을 아래와 같이 근사시키면 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.

 

직각 삼각형은 부채꼴로 근사시켜서 풀 수 있고, sinθ의 경우도 θ로 근사시켜서 풀 수 있죠.

 

삼각형의 세 변의 길이는 사인법칙에 의해 대각의 사인비로 결정이 되므로, 이를 이용하시면 상당히 쉽게 풀린답니다 :-)

 

실제로 문제를 풀면서 익혀볼까요?

정석 풀이는 해설지에 다 있을테니, 저는 사인 근사로만 풀어볼게요.

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문제1

2020년 6월 가형 28번

그림과 같이 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 AB 위에 점 P가 있다. 중심이 A이고 반지름의 길이가 AP인 원과 선분 AB의 교점을 Q라 하자. 호 PB 위에 점 R를 호 PR과 호 RB의 길이의 비가 3:7이 되도록 잡는다. 선분 AB의 중점을 O라 할 때, 선분 OR와 호 PQ의 교점을 T, 점 O에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 H라 하자. 세 선분 PH, HO, OT와 호 TP로 둘러싸인 부분의 넓이를 S1, 두 선분 RT, QB와 두 호 TQ, BR로 둘러싸인 부분의 넓이를 S2라 하자. ∠PAB=θ라 할 때, 

이다. 50a의 값을 구하시오. (단, 0< θ<π/4)

 

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문제2

2021년 9월 평가원 #28

그림과 같이 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB의 중점을 O라 할 때, 호 AB 위에 두 점 P, Q를 ∠POA = θ, ∠QOB = 2θ가 되도록 잡는다. 두 선분 PB, OQ의 교점을 R라 하고, 점 R에서 선분 PQ에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형 POR의 넓이를 f(θ), 두 선분 RQ, RB와 호 QB로 둘러싸인 부분의 넓이를 g(θ)라 할 때, 

이다. p+q의 값을 구하시오. (단, 0< θ < π/3 이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

 

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문제3

2022년도 10월 29번

그림과 같이 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB의 중점을 O라 하고 호 AB 위에 두 점 P, Q를 ∠BOP = θ, ∠BOQ = 2θ가 되도록 잡는다. 점 Q를 지나고 선분 AB에 평행한 직선이 호 AB와 만나는 점 중 Q가 아닌 점을 R라 하고, 선분 BR가 두 선분 OP, OQ와 만나는 점을 각각 S, T라 하자. 세 선분 AO, OT, TR와 호 RA로 둘러싸인 부분의 넓이를 f(θ)라 하고, 세 선분 QT, TS, SP와 호 PQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 g(θ)라 하자.

일 때, 80a의 값을 구하시오. (단, 0 < θ < π/4)

정답 : 20

 

* 사인 근사를 이용한 도형 문제풀이는 지속적으로 업데이트 될 예정입니다.