[나머지 정리] 이차식, 완전제곱식으로 나눈 나머지

이차식으로 나눈 나머지 정리 

오늘은 나머지 정리를 다뤄보겠습니다. 보통 일반적으로 서로 다른 수를 대입하여 푸는 건 쉽습니다. 그래서 많이들 틀리는 유형만 가볍게 다뤄볼까 해요. 

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첫 번째는 완전 제곱식으로 나눈 나머지 정리입니다. 아래 예제를 같이 풀면서 설명할게요.

예제 1

보통 이 문제를 풀 때 다들 아래와 같이 식까지는 세웁니다.

그리고 여기서 보통 많이들 헤매죠. 왜냐면 아는 식은 f(1), f(-2) 2개인데, 미지수가 a, b, c로 총 3개가 나오기 때문입니다. 

 

조금 진정하고 살펴봅시다. 녹색으로 쓴 식 역시 이차식이고, f(x)는 주어진 세 식에서 모두 같은 식입니다. 

즉, f(x)는 (x-1) ²으로 나눈 나머지가 3x+2라는 조건을 여기서도 그대로 쓸 수 있죠.

(x-1) ²은 이차식이므로 ax²+bx+c는 아래와 같이 더 나눌 수 있습니다. 

나눗셈을 끝까지 다 할 필요는 없고, 몫이 a고, 나머지는 주어진 조건 그대로 쓴다는 사실만 이용하시면 됩니다. 이 과정이 이해가 되면 다음부터는 아래와 같이 바로 식을 세울 수 있을 거예요. 

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두 번째는 조립제법을 이용한 나머지 정리입니다. 이것도 예제를 보면서 같이 풀어볼게요.

 

예제 2

이 경우 정보가 부족하기 때문에 직접 조립제법을 이용하여 식을 구성하시면 됩니다.

중간에 전개를 해서 정리해주면 손쉽게 나오죠?

 

따라서 구하는 R(x)=30x-30입니다.

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보통 잘 안풀리는 유형은 크게 이 두 가지입니다. 혹시나 더 추가되는 게 있다면 추후 업데이트할게요.

 

그럼 열공하세요.!