대칭차집합은 학교 시험에 굉장히 자주 등장하므로 한 번은 다루고 넘어가는 편이 좋습니다. 아무래도 테마로 익히고 나면, 문제 푸는 시간이 단축이 되니까요.
사실 용어 자체를 모른다고 하더라도 정의 혹은 벤 다이어그램을 이용하여 풀 수 있습니다.
대칭차집합 정의
두 집합 A,B에 대하여 차집합 A-B와 B-A의 합집합을 대칭차집합이라 하고,
일반적으로 연산 기호 △를 써서 다음과 같이 나타냅니다.
A△B
= (A - B) ∪ (B - A)
= (A∪B) - (A∩B)
일반적으로..라는 말을 쓴 건 다른 기호로도 얼마든지 정의해서 나올 수 있기 때문이에요. △라는 기호를 대칭차집합에 쓴다고 정해둔 건 아니랍니다.
대칭차집합은 수식으로 쓰면 여러가지 방법으로 표현할 수 있기 때문에, 이것이 대칭차집합이다-라고 알아볼 수 있으면 됩니다.
물론 그게 힘들다면 벤 다이어그램으로 그려보셔도 됩니다.
대칭차집합 성질
1. 교환법칙 성립
합집합에 대하여 교환법칙이 성립하므로 성립
A△B
= (A - B) ∪ (B - A) (합집합은 교환법칙이 성립함)
= (B - A) ∪ (A - B)
= B△A
2. 결합법칙 성립
결합법칙은 집합이 3개나 나오기 때문에, 벤 다이어그램을 이용하여 성립함을 확인해볼게요.
3. 여러번 연산을 반복할 때-
문제를 풀어보면서,
감을 좀 더 익혀봅시다.
문제1
U = { x | x는 10 이하의 자연수}의
두 부분집합 A, B에 대하여
A = { x | x는 6의 약수}일 때,
(A - B) ∪ (B - A) = { 2, 5, 8, 10 }을
만족시키는
집합 B의 부분집합의 개수는?
정답 : 64개
문제2
전체집합 U의 두 부분집합 A,B에 대하여
연산 ㆍ를
AㆍB = ( A - B ) ∪ (B - A)로 정의할 때,
보기에서 항상 옳은 것만을
있는 대로 고른 것은?
<보기>
정답 : ㄴ, ㄷ
문제3
전체집합 U의 두 부분집합 A,B에 대하여
( A ∪ B) - (A ∩ B) = A - B 가 성립할 때,
<보기>에서 항상 옳은 것만을
있는 대로 고른 것은?
정답 : ㄱ, ㄷ
문제4
전체집합 U의 세 부분집합 A,B,C가 있다.
연산 ★를 A ★B = ( A ∪ B) - (A ∩ B)로
정의할 때, 세 집합 A, B, C를 다음과 같이
한 집합씩 순서대로 연산을 30회 시행한다.
이때, Xn=A를 만족시키는
모든 자연수 n의 값의 합울 구하시오.
(단, n은 2이상이다.)
문제5
두 집합 X, Y에 대하여 라고 할 때,
다음 중 아래 벤 다이어그램의
색칠한 부분을 나타내는 것은?
① A △ (B △ C)
② A △ (B ∩ C)
③ (A △ B) ∩ (A △ C)
④ A ∩ (B △ C)
⑤ A △ (B ∪ C)
다음에 문제풀이도 이어서 같이 올리겠습니다!
'고등수학 > 고등수학(하)' 카테고리의 다른 글
[집합] 약수, 배수 들어가는 문제 정리 (0) | 2023.10.08 |
---|---|
[수학 개념] 집합의 정의, 표현방법 (0) | 2023.09.09 |
[순열과 조합] nPr, nCr 성질 증명 및 예시 (서술형, 빈칸형 출제) (0) | 2022.11.13 |
[경우의 수, 확률] 3의 배수 만들기 (3으로 나눈 나머지 이용) (0) | 2022.11.06 |
코시 슈바르츠 부등식 항 3개 이상 일 때 (등호 조건 및 증명) (0) | 2022.09.25 |