고등수학/고등수학(하)

[경우의 수, 확률] 3의 배수 만들기 (3으로 나눈 나머지 이용)

한량 지아이 2022. 11. 6. 23:21
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경우의 수 또는 확률에서는 배수 만들기 문제가 종종 나옵니다. 만약 배수의 특징을 모른다면 아래 포스팅 먼저 정독하고 오세요.

 

https://ladyang86.tistory.com/57

 

배수 판정법 (초중고딩 모두 이해할 수 있음)

경우의 수를 구하다보면 배수 판정법이 종종 쓰일 때가 있죠. 쉬운 편이니 금방 정리하고 넘어갑시다. 규칙이 비슷한 것들끼리 살펴보고 필요하다면 증명도 같이 해보도록 해요.^^ 끝자리 수로

ladyang86.tistory.com

 

일반적으로 숫자를 만들 때, 2의 배수나 5의 배수처럼 끝자리만 맞춘다고 되는 게 아닌 유형이 바로 3의 배수 만들기입니다.

 

3의 배수의 경우에는 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 됩니다.

 

주어진 숫자가 적은 경우에는 숫자를 직접 만들어서 세도 됩니다.

 

그렇지만 일반적으로 나머지로 분류해서 푸시는 걸 추천 드립니다. 그래야 숫자가 커져도 별 무리없이 풀 수 있어요. 아래 문제를 풀면서 나머지로 분류해서 푸는 걸 익혀보도록 해요!


 

예제

1,2,3, ..., 12의 숫자가 하나씩 적힌 12개의 공이 들어있는 상자에서 공을 하나 꺼내고 꺼낸 공을 다시 넣는 시행을 세 번 반복하여 나온 숫자를 각각 a1, a2, a3라고 하자. 방정식 x³=1의 한 허근 w에 대하여 아래를 만족하는 경우의 수를 구하시오.

나머지로 분류해서 풀면 3의 배수를 모두 계산하지 않아도 되기에 매우 편리합니다!

 

sol2) 앞의 a1, a2는 모든 숫자가 올 수 있고, 마지막 a3는 나머지가 3의 배수가 되게 만드는 그룹에서 선택하면 되므로 4가지 경우가 존재한다. 즉 12x12x4개 = 576개 

 

아래는 수능 예시문항인데, 큰 틀은 잡아 드릴테니 한 번 풀어보세요 :-)


예제 

2022학년도 수능예시문항 확통 28번

1부터 10까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 3개의 수를 선택한다. 선택한 세 개의 수의 곱이 짝수일 때, 그 세 개의 수의 합이 3의 배수일 확률은? 

 

전체 : 10C3-5C3

1~10까지 중 3개의 수를 선택하는 경우의 수 - 선택한 세 개의 수의 곱이 홀수일 때

 

분자 : 세 수의 합이 3의 배수 - (세 수의 합이 3의 배수지만 곱은 홀수인 것)

 

R1 = {1,4,7,10}

R2 = {2,5,8}

R0 = {3,6,9}

 

세 수의 합이 3의 배수가 되려면

(R1+R2+R3) or (R1,R1,R1) or (R2,R2,R2) or (R3,R3,R3)

이 네 그룹 중에서 숫자를 골라야 하겠죠?

 

그리고 이 그룹에 속하지만 곱은 홀수인 순서쌍은 제외해주시면 됩니다.

 

정답 : 19/55

 


예제 2

1부터 6까지의 수를 중복사용하여 만든 네 자리 자연수가 3의 배수가 되는 경우의 수는?

 

앞의 3자리는 1~6까지의 숫자가 모두 올 수 있다고 하면 6x6x6가지 있고, 마지막 일의 자리수는 합이 3의 배수가 되게 만드는 숫자가 2개 있으므로 전체 경우의 수는 6x6x6x2가지 있다.

 


예제3

다음 조건을 모두 만족시키는 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수를 구하시오. (단, x, y, z, w는 모두 자연수)

(가) x+y+z+w=15

(나) x, y, z, w중 3의 배수는 하나 뿐이다.

정답 : 120

 

3의 배수 하나 결정 4개

나머지 세 수를 더해서 역시나 3의 배수가 되어야 하므로,

R1,R1,R1 혹은 R2,R2,R2

이후 중복조합 변수 치환 방법으로 동일하게 푸시면 됩니다. :-)

 

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