코시 슈바르츠 부등식 항 3개 이상 일 때 (등호 조건 및 증명)

내신 대비 하면서 문제를 풀다보니 은근 자료 찾기가 힘들어서 코시 슈바르츠 부등식 포스팅을 계속하게 되네요. 이게 내용상 엄청 중요해서 강조하려고 작성하는 것 보다, 교육과정에서 메인으로 다루는 내용은 아니다보니 오히려 알려주고 싶은데 모여있는 내용이 잘 없어서 쓰게 되는 것 같습니다.

그래서 더 이상은 포스팅 안했으면 좋겠다는 희망을 담아 항이 3개 이상인 코시 슈바르츠 부등식을 오늘 다뤄볼까 합니다.

 

혹시 아직 코시 슈바르츠 부등식이 익숙치 않으신 분들은 포스팅 하단에 링크 걸어두었으니 참고 하시기 바랍니다.

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코시 슈바르츠 부등식 항이 3개일 때, 

n=2일 때는 이전에 증명했으니 이번에는 n=3일때를 증명해보겠습니다. 

 

증명방법은 동일합니다. 차로 비교하면 되는데, 과정에서 완전 제곱식이 나오기 때문에 항상 성립하죠.

등호조건은 완전 제곱식 안이 모두 0이 되면 되겠죠? 문자가 3개 이상이므로 비례식꼴로 기억하는 편이 좀 더 편합니다.

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코시 슈바르츠 부등식 n개일 때 증명

이제 일반화 해봅시다. 항이 2,3개일 때야 다 서로 다른 문자를 써도 됐지만, n개쯤 되면 계속 다른 문자를 쓰기는 좀 힘들죠. 아래에 첨자를 써가면서 증명해보도록 할게요.

위 식을 증명하면 됩니다. 이건 어떻게 하면 될까요? n=2,3일 때 했던 것처럼 빼서 완전 제곱식으로 만들면 될까요? 

 

이항했을 때 계수가 안 맞아서 그 방법으로는 조금 힘들 것 같네요. 대신 거꾸로(?) 증명을 해보도록 하겠습니다. 완전 제곱식의 합은 항상 0보다 크거나 같다는 것에서 출발하는 거죠. 

 

x에 대한 완전제곱식의 합으로 식을 표현한 다음, 판별식을 이용하여 주어진 식을 유도합니다. 

등호조건은 n개일 때도 첨자가 같은 계수 끼리 비가 같다는 걸로 외우시면 편할 듯 하네요.

 

코시 슈바르츠 부등식은 산술기하평균보다 등호조건이 익숙치 않아서 더 연습하셔야겠죠? 최댓값 혹은 최솟값만 구하고 끝내지마시고 꼭 등호조건을 만족하는 값도 구해보도록 하세요.

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만약 윗 내용이 어렵거나 코시 슈바르츠 부등식이 아직 익숙하지 않으신 분들은 아래 포스팅부터 먼저 숙지하고 오시는 걸 추천 드립니다.

 

[절대부등식] 코시 슈바르츠 부등식 증명 및 사용법

 

[절대부등식] 산술기하보다 쉬운 코시-슈바르츠 부등식

그럼 다음에도 유용한 내용으로 돌아올게요.