산술기하 평균 부등식의 모든 것 (연습용 문제 다수 수록)

난 산술기하 평균이 정말 너무 약하다!! 

-하는 분들을 위한 포스팅입니다. 

 

제 제자들도 맨 처음 이걸 배울 때 너무 어려워하기도 하고... 연습용 문제가 좀 산발적으로 있는 듯하여, 정리차 포스팅합니다.

우선 증명은 아래와 같습니다.

 

a>0, b>0일 때,

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기하적으로도 증명하는 방법은

이전에 포스팅해두었으니 

아래 링크 참고 하시구요..!

 

산술기하 평균(부등식) - 기하적인 방법으로 증명하기

그럼 이제 본격적으로 익혀봅시다.

 

우선은 산술기하평균 공식부터

5번 써보고 시작합시다. 

 

a>0, b>0일 때

반드시, 등호 조건까지 외우셔야 해요.!

 

기본 형태는 합의 최솟값,

혹은 곱의 최댓값을 많이 물어봅니다.

 

식이 형태가 변형되거나,

문자가 3개씩 나오는 경우도 있으니

아래 유형 모두 다 풀어보고

익혀줍시다 :-)

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기본 연습

문제 1.

a>0, b>0이고, a+b=2일 때,

ab의 최댓값을 구하여라.

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문제 2.

a>0, b>0이고, ab=6일 때,

3a+2b의 최솟값을 구하여라.

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문제 3.

a>0, b>0이고, 2a+b=4일 때,

ab의 최댓값을 구하여라.

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단계를 조금 더 올려봅시다.

문자는 하나인데 곱하면 상수가 되는 꼴도

(분모/분자에 같은 문자가 있는 경우)

산술기하 부등식을 이용할 수 있습니다.

 

문제 4.

 

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문제 5. 

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문제 6.

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문제  7. 

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문제 8.

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문제 9.

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문제 10.

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문제 11.

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문제 12.

 

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문제 13

 

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문제 14

 

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산술기하 평균 등호 조건의 중요성

제가 위의 모든 풀이에서 등호 조건을 쓴 거 보이시죠?

산술기하 부등식을 풀 때, 최댓값 or 최솟값을 구할 때, 반드시 등호 조건이 성립하는지 따져보셔야 합니다.

 

아래 문제를 한 번 살펴볼게요. 

위의 풀이는 틀렸습니다.

네?

아니.. 선생님..

분명 위에서 비슷하게 푼 문제

있는 거 같은데 얘는 왜 안돼요?

 

 왜 그런 것일까요?

 

바로 등호 조건 때문입니다.

그럼 어떻게 풀어야 올바른 풀이일까요? 만약 산술기하를 사용하신다면 아래와 같이 푸시면 됩니다.

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산술기하 부등식 등호 조건 예제

 

위는 워낙 유명한 예제라 문제 하나만 더 풀어볼게요. 

 

종이 위에 반지름의 길이가 √5cm인 원을 그리고 이 원에 내접하는 직사각형을 잘라내어 아래 그림과 같이 점선을 따라 접어 윗면과 밑면이 없는 정사각기둥 모양의 상자를 만들려고 한다. 정사각기둥의 모든 모서리의 길이의 합을 Ｌcm라고 할 때 Ｌ의 최댓값을 구하여라.

피타고라스의 정리와 산술기하 부등식을 이용해서 아래와 같이 풀어보았습니다.

안타깝게도 이건 틀린 풀이예요.

왜일까요?

고민해보고 아래를 다시 보세요.!

위 문제 풀이에서 산술기하 부등식을 두 번 사용했는데, 

두 식의 등호 조건이 달라서 이 둘을 동시에 만족하는 a, b는 존재하지 않습니다.

그래서 산술기하 부등식을 사용할 때, 꼭 등호 조건을 같이 구해보는 걸 습관으로 들이셔야 해요!

 

그럼 이제 위의 문제는 어떻게 푸냐고요? 이건 아래와 같이 코시 슈바르츠 부등식을 사용해서 푸시면 됩니다. 

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따라서 산술기하 평균 외울 때, 등호 조건 꼭꼭 같이 외우셔야 합니다.

문제에서 요구하는 값만 구했다고 끝내지 마시고, 언제 성립하는지도 같이 체크해보는 습관을 가지시는 게 좋겠죠?

 

특히 오늘 배운 산술, 기하 부등식은 고3 때까지 계속 나오니, 수학(하)에서 범위가 얼마 없다고 대충 넘기지 마시고, 제대로 익혀보도록 해요. 그리고 맨 아래 문제 풀이가 바로 나오지 않는다? 내신이 어려운 편이다? 그렇다면 코시 슈바르츠 부등식도 연습 많이 해보시는 걸 추천드립니다. 아래 링크 두 개 걸어놓았는데, 많은 도움이 될 거예요. 

 

[절대부등식] 코시 슈바르츠 부등식 증명 및 사용법

 

[절대부등식] 산술기하보다 쉬운 코시-슈바르츠 부등식

그럼 열공하세요!