명제의 거짓 반례 조건

명제가 거짓임을 보이기 위한 반례 

 

오늘은 명제 p이면 q이다가 거짓임을 보이기 위한 반례를 잡는 법을 배워보도록 해요!

p이면 q이다.

이 명제가 참이라면 P⊂Q입니다.

 

이 명제가 거짓이라면

P에는 속하지만

Q에는 속하지 않는 원소가 있겠죠?

그게 바로 반례입니다.

 

즉 우리가 p이면 q이다가 거짓이라고 말하려면,

p이지만 q가 아닌 원소를 갖고와야 하는 거죠.

 

예를 들어볼까요?

p : 노래를 잘한다.

q : 키가 크다.

 

여기서 우리가 p->q가 참이라고 주장하는 건

노래를 잘하면 키가 크다

이렇게 만들어 볼 수 있겠군요.

 

이 주장이 틀렸다는 걸 보여주려면

어떤 사람을 데려와야 할까요?

 

노래는 잘 하지만, 키는 작은 친구를 데려와야겠죠?

즉 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 원소가 반례입니다.

 

그럼 이제 문제를 풀어볼게요!

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문제1.

전체집합 U에 대하여 두 조건 p,q의 진리집합을 각각 P,Q라 하자. 두 집합 P,Q가 아래와 같을 때, 명제 'p이면 ~q이다'가 거짓임을 보이는 원소는?

p이면 ~q가 거짓임을 보이기 위해선

p이지만 ~q가 아닌 원소

⇔ p이면서 ~(~q)인 원소

⇔ 즉, P∩Q인 원소를 고르면 됩니다.

 

그래서 정답은 b입니다.

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문제2.

n이 30보다 작은 자연수일 때, 명제

'n이 5의 배수이면 n은 2의 배수이다'

가 거짓임을 보이는 반례를 모두 구하시오.

 

n은 5의 배수이면서

2의 배수는 아닌 원소가

반례가 되겠죠?

 

즉 정답은 5,15,25입니다.

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문제3

전체집합 U에 대하여

세 조건 p,q,r의 진리집합을

각각 P,Q,R이라 할 때,

명제 '~p이면 ~q이고 r이다'가

거짓임을 보이는 원소가

반드시 속하는 집합은?

 

우리가 찾아야 하는 건 ~p이면서 ~(~q & r)인 집합입니다.

집합의 연산 법칙을 이용해서 정리해봅시다.

뭐.. 이런 식으로 정답이 하나만 나오는 건 아닙니다.

만약 객관식이라면 같은 표현을

찾으시면 되겠죠?

 

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참, 그리고 p⇒q일 때,

~p인 경우는 그냥 참입니다.

q와 상관이 없어요.

 

이것도 쉬운 예를 들어보죠.

 

'비가 오면(p) 숙제를 하겠다.(q)'고

엄마와 약속을 했습니다.

 

근데 비가 안왔어요.(~p)

그럼 약속을 지킨 걸까요? 안 지킨걸까요?

 

해당 상황이 애초에 일어나지 않았으니

안 지켰다고 말할 수는 없겠죠?

즉 약속을 지킨(?) 것입니다.

 

하나 더 살펴보죠.

'카드의 앞면이 모음(p)이면 짝수를 쓴다.(q)'

가 규칙이라고 해봅시다.

카드의 앞면이 자음이면 

짝수를 써야 할까요, 홀수를 써야 할까요?

 

뭘 쓰건 상관이 없습니다.

왜냐하면 애초에 정하질 않았거든요.

 

그래서 자음이면 짝수를 쓴다,

자음이면 홀수를 쓴다.

이 명제 둘 다 틀린게 아니랍니다. 

:-)

 

이것도 문제를 좀 풀어볼게요!

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문제4

한쪽 면에는 숫자, 다른 쪽 면에는 알파벳이 적힌 4장의 카드가 있다. 명제 '짝수가 적힌 카드의 뒷면에는 모음이 적혀 있다.'가 참인지 알아보기 위하여 반드시 뒷면을 확인할 필요가 있는 카드는 어느 것인가?

4

E

K

7

 

주어진 명제가 참인지 확인해야 하므로,

짝수가 적힌 카드에 모음이 적혀 있는지 확인해야겠죠?

그래서 4는 뒤집어야 합니다.

 

그리고 명제가 참이면 대우도 참이므로,

자음이 적혀 있는 카드 뒤에 홀수가 적혀있는지도

확인해야 합니다. 

그래서 자음인 K도 뒤집어야 하죠.

 

따라서 반드시 뒤집어야 하는 카드는 

4와 K입니다.

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문제5.

미술시간에 모든 학생이 자신의 번호가 뒷면에 쓰여 있는 종이에 각자 그림을 그린다. 이 때 홀수번 학생은 동물을 그리도록 지시하였다. 5번, 10번 학생은 번호가 보이도록 하고, 말과 사과 그림을 각각 그린 두 학생은 번호가 안 보이도록 책상 위에 그림을 놓았다. 네 그림이 모두 위의 지시에 맞는 그림인지 알기 위해 다른 쪽 면을 확인할 필요가 있는 것은?

5

10

말

사과

선생님의 지시를 살펴봅시다.

홀수 ⇒ 동물

~동물 ⇒ 짝수

즉 홀수 카드와 동물이 아닌 카드는 뒷면을 반드시 확인해야겠죠?

그래서 5번 그림과 사과는 확인을 해야 합니다.

 

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그럼 다음에도 유용한 포스팅 들고 올게요! 열공하세요.*^^*