처음으로 특정 지점에 도착하는 문제 모음

내신 대비하면서 학생들이 어려워했던 문제를 모아 보았습니다.

 

'처음으로' 어떤 조건을 수행 해야 하는 문제랍니다.

풀이는 손목이 회복되면 차차 올리고, 우선 문제와 정답, 간단한 힌트 정도를 같이 업로드합니다.

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문제1

2020-3-1-M 쌘뽈여고 #3

좌표평면 위의 점 P는 한 번 이동할 때마다 다음 네 가지 중 한 가지 방법으로 이동한다.

 

(가)  점 P는 (x, y)에서 (x+1, y)로 이동한다.

(나)  점 P는 (x, y)에서 (x-1, y)로 이동한다.

(다)  점 P는 (x, y)에서 (x, y+1)로 이동한다.

(라)  점 P는 (x, y)에서 (x, y-1)로 이동한다.

 

원점 O에서 출발한 점 P가 5번 이동한 후에 처음으로 점 (2,1)에 도착하는 경우의 수는?

 

정답 : 38개

 

 

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문제2

2022년도 수능

흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

 

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 5 이상이면 바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,

나온 눈의 수가 4 이하이면 바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 5번 반복할 때, n(1≤n ≤5)번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 an, bn이라 하자. a5+b5≥7d일 때, ak=bk인 자연수 k (1≤k≤5)가 존재할 확률은 q/p이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 : 191

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문제3

2019학년도 수능

좌표 평면의 원점에 점 A가 있다. 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

동전을 한 번 던져 앞면이 나오면 점 A를 x축의 양의 방향으로 1만큼, 뒷면이 나오면 점 A를 y축의 양의 방향으로 1만큼 이동시킨다.

위의 시행을 반복하여 점 A의 x좌표 또는 y좌표가 처음으로 3이 되면 이 시행을 멈춘다. 점 A의 y좌표가 처음으로 3이 되었을 때, 점 A의 x좌표가 1일 확률은?

 

정답 : 3/8

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문제4

2024-3-1-m 세종국제고 #17

상자 A와 상자 B에 각각 10개씩 공이 들어있고, 상자에 들어 있지 않은 공 20개가 있다. 동전 한 개를 사용하여 다음 시행을 한다.

 

한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 상자 A에서 공 1개를 꺼내어 상자 B에 넣고, 뒷면이 나오면 상자에 들어 있지 않은 공 2개를 두 상자 A, B에 각각 1개씩 넣는다.

 

위의 시행을 10번 반복할 때, 10번째 시행 후 처음으로 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 상자 A에 들어 있는 공의 개수의 2배가 될 확률은 p이다. 64p의 값은?

 

정답 : 12개 

 

풀이 : B는 항상 1개씩 늘어나는 상태이므로 10번째 시행 후 (A,B)=(10,20)이 돼야한다. 즉 앞면 5번, 뒷면 5번이 나오는 상태. 이 때 중간에 2A=B가 되면 안되므로, 이런 경우를 제외해줘야한다. B는 홀수가 될 수 없으므로, 가능한 경우는 (A,B)=(8, 16)을 거쳐 (10,20)이 되어야 한다. 즉 앞면4개 뒷면2개가 나온 다음, 앞면 1개, 뒷면 3개가 나오는 경우를 빼주면 된다.

 

{10C5-6C2x4C1}x1/2^10이다.

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기출 중에 자주 나오는 3으로 나눈 나머지가 같아지는 사건 A가 6회째 처음으로 일어나는 문제도 풀어보면 좋습니다.