중복조합 변수 치환 추가문제

이전에 중복조합 부정방정식의 정수해 치환하는 유형을 다룬 적이 있습니다. 

https://ladyang86.tistory.com/62

[중복조합] 부정방정식의 정수해 조건 부분

위 포스팅에 이어서 싣기엔 너무 길어질 것 같아.. 추가 문제를 몇 개 더 첨부합니다. 

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문제1

24년 9월 모평 30번

다음 조건을 만족시키는 13 이하의 자연수 a,b,c,d의 모든 순서쌍 (a,b,c,d)의 개수를 구하시오.

(가) a ≤ b ≤ c ≤ d

(나) a x d는 홀수이고, b + c는 짝수이다.

 

정답 : 336개

 

sol) ad가 홀수이므로 a와 d는 홀수, 

b+c가 짝수이므로 b와 c는 둘다 홀수이거나 둘다 짝수이다.

 

즉,

i) a,b,c,d가 모두 홀수

ii) a,d는 홀수, b,c는 짝수

두 경우를 세서 더하면 끝

 

i) a,b,c,d가 모두 홀수

ii) a,d는 홀수, b,c는 짝수

2a'+1  ≤2b'+2 ≤ 2c'+2 ≤ 2d'+3

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문제2

1부터 10까지의 자연수가 하나씩 적힌 접시 10개가 번호 순서대로 놓여 있다. 검은색 공 3개와 흰색 공 7개를 각 접시 위에 하나씩 놓을 때, 검은색 공이 놓여 있는 접시에 적힌 수가 왼쪽부터 각각 홀수, 홀수, 짝수인 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

 

정답 : 20개

 

a●b ● c ● d

그림과 같이 검은색 공 3개를 놓고, 검은색 공 가장 왼쪽, 두 공의 사이, 검은색 공 가장 오른쪽에 놓이는 흰색 공의 개수를 각각 a, b, c,d라 하자.

a+b+c+d=7이고, 조건을 만족시키도록 나열하려면 a, c, d는 모두 0 또는 짝수, b는 홀수이어야 한다.

 

즉 a=2a', b=2b'+1, c=2c', d=2d'으로 놓으면

 2a'+(2b'+1)+2c'+2d'=7

a'+b'+c'+d'=3 (a', b', c', d'은 음이 아닌 정수)

따라서 구하는 모든 순서쌍의 개수는 4H3=6C3=20개

 

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문제3

2025 수능특강 Ch2. Lv2 #6

같은 종류의 쿠키 26개를 서로 다른 종류의 선물 상자 5개에 남김없이 나누어 담을 때, 각 상자에 담는 쿠키의 개수가 2 이상 6 이하가 되도록 나누어 담는 경우의 수는?

 

정답 : 70개

서로 다른 종류의 선물 상자 5개에 담는 쿠키의 개수를 각각 a, b, c, d, e라 하면 a+b+c+d+e=26 (a, b, c, d, e는 2이상 6이하의 자연수)

a=a'+2

b=b'+2

c=c'+2

d=d'+2

e=e'+2라 하면

(a'+2)+(b'+2)+(c'+2)+(d'+2)+(e'+2)=26

a'+b'+c'+d'+e' = 16 (a', b', c', d', e'은 4 이하의 음이 아닌 정수)

a'=4-a''

b'=4-b''

c'=4-c''

d'=4-d''

e'=4-e''

(4-a'')+(4-b'')+(4-c'')+(4-d'')+(4-e'')=16

a''+b''+c''+d''+e''=4

(a'', b'', c'', d'', e''은 4 이하의 음이 아닌 정수)

따라서 구하는 경우의 수는 순서쌍 (a'', b'', c'', d'', e'')의 개수와 같으므로

5H4=8C4=70

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* 문제와 풀이는 추가될 수 있습니다.