피타고라스 수 4쌍 + 닮음비로 피타고라스 수 쉽게 구하기

피타고라스의 정리가 중학교 3학년에서 2학년으로 내려갔죠..!

중2는 아직 무리수를 배우기 전이라, 구해야 하는 답이 모두 자연수 위주로 나오게 됩니다.

 

그렇지만 매번 제곱해서 계산하는 건 매우 불편하죠.. 그래서 오늘은 외워두면 매우 편한 자연수 순서쌍 몇 가지를 살펴볼까해요.! 아마 이 포스팅을 보고 나면 계산 속도가 훨씬 좋아질거에요.

 

피타고라스 수

세 변이 자연수인데, 모두 피타고라스의 정리를 만족하는 수를 피타고라스 수라고 합니다.

 

(3,4,5) :    9+16=25

(5,12,13) : 25+144=169

(8,15,17) : 64+226=289

(7,24,25) : 49+576=625

 

요 정도 순서쌍이 가장 대표적이네요.ㅎㅎ

일단 요 4쌍의 순서쌍은 자주 등장하기 때문에 일단 외워둡시다..!

 

닮음을 이용하여 더 쉽게 구하는 피타고라스의 정리

세 수가 피타고라스의 정리를 만족한다면, 닮음인 수도 만족합니다.

증명은 아래와 같아요. 

세 수가 피타고라스의 정리를 만족한다면,

각 수에 모두 k를 곱한 수도 피타고라스의 정리를 만족합니다.

 

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간단한 문제를 몇 개 풀어볼까요?

15와 25의 최대 공약수는 5이므로, 숫자를 분리해서 써둡니다. 

익숙한 수 조합인 (3,4,5)가 바로 보이네요..!

나머지 한 변은 20이 됩니다.

 

물론 이 문제는 625-225=400으로 풀어도 쉽긴 하지만,

모든 문제가 다 그런 건 아니죠.

 

몇 개 더 풀어볼까요?

 

10과, 24의 최대 공약수는 2이므로,

숫자를 분리해서 써준다면 5와 12가 보이네요. 

 

닮음비와 피타고라스 수를 알고 있다면,

빗변의 길이가 2x13=26인게 바로 보입니다.

 

만약, 정석대로 푼다면 100+576=676으로 풀어야 하죠. 

그렇지만 676이 26의 제곱이라는 걸

바로 알아채기는 쉽지 않다고 봅니다.

 

한 문제 더 풀어볼까요? 이건 중3 학생들이 계산할 때 조심해야 하는 부분입니다.

 

최대공약수인 4로 나눠서 쓴 다음

4와 5가 익숙한 나머지 빗변의 길이에 12를 쓰시면 안돼요.!

빗변은 가장 긴 변이니까요.

 

그렇지만, 4와 5로 피타고라스의 정리를 쓰면 되니,

빗변도 금방 구할 수 있습니다.

 

 

피타고라스의 수는 저 4쌍이 전부인가요?

아닙니다. (9,40,41)과 같이 좀 더 큰 숫자에서도 존재합니다. 앞의 4쌍은 그냥 정말 너무 많이 나오는 수들이라 외우는게 빨라서 쓴 거에요.

 

그렇지만 30 이하의 숫자 들로만 만들 수 있는 건 저 4쌍의 조합이 유일합니다. (물론 k를 곱한 것도 포함이죠.) 변의 길이가 나왔을 때 직각 삼각형인지 알기 위해 다 해볼 필요는 줄어들긴 하죠.

 

그럼 다음에 또 만나요.^^