고등수학/수학2

함수의 극한 진위판정(참/거짓) 문제

한량 지아이 2021. 8. 21. 23:30
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함수의 극한 진위 판정은

거의 대부분의 학생들이 질문하는 영역입니다.

 

이전에도 한 번 다룬적이 있는데,

오늘은 이 중 함수의 극한의 수렴/발산에 관한

진위판정 문제를 모아서 쭉 풀어볼까 합니다.

이전 포스팅은 아래를 보시면 됩니다.

https://ladyang86.tistory.com/40 

 

[함수의 수렴과 연속] 수렴, 발산과 연속, 불연속 진위판정 쉽게 하는 방법

오늘은 함수의 수렴과 연속의 성질들을 쉽게 외우는 방법에 대해 알아보겠습니다. 우리가 고2 내신을 준비하다보면, 진위 판정을 한 번쯤은 해보게 됩니다. 이게 은근 어렵죠. 나중에 좀 더 쓸텐

ladyang86.tistory.com

 

아래는 모두 수학2에서 다루는 함수를 기준으로

판단하시면 됩니다.

다항함수, 분수함수 - 우선은 요 정도랄까요?

 

삼각함수나 지수/로그함수를

제외하고 푸시면 됩니다.

해당 내용을 모두 수학2 과정에서만

검토한 거라 그렇습니다.

 

반례 몇 가지는 외워두시는 편이 좋죠.

 

그럼 문제를 쭉 풀어봅시다.

 


문제1

거짓

x=a에서 f(x)의 극한이 0이 아니라는

가정이 있어야 성립

 

반례) f(x) = x² , g(x)= 1/x, a=0인 경우

f(x)g(x)=x라 x=0에서 수렴하지만 

g(x)는 x=0에서 수렴하지 않는다.


문제2

거짓

뒤에 나누는 극한이 0이 아니라는

가정이 있어야 성립함.

즉 g(x)뿐만 아니라

f(x)도 x=a에서의 극한이 0이 아니어야 함

 

반례) f(x) = x² , g(x)= 1/x, a=0인 경우

f(x)/g(x)=x³이라 x=0에서 수렴하지만 

g(x)는 x=0에서 수렴하지 않는다.


 

문제3

수렴하는 함수끼리는 곱해도 수렴함


 

문제4

거짓

g(x)도 수렴한다는 조건이 있어야 성립함.

 

반례) f(x) = 1/x , g(x)= -1/x, a=0인 경우

둘이 더하면 0이라 x라 0에서 수렴하지만 

f(x)는 x=0에서 수렴하지 않는다.

 


 

문제5

거짓

f와 g가 둘다 각각 수렴한다는 조건이 없으면

극한을 이렇게 떼서 쓸 수 없다.

 

둘 다 발산하는데 빼서 수렴하는 함수를

얼마든지 만들 수 있기 때문.

 

반례) f(x) = 1/x + x , g(x)= 1/x, a=0인 경우

둘이 빼면 x라 0에서 수렴하지만 

각각은 수렴하지 않는다. 


 

문제6

수렴하는 함수끼리 더하고 빼도 수렴한다.

둘을 더해서 2로 나누면 f(x)가 되므로 성립.


 

문제7

거짓

발산하는 함수끼리 더하면

발산할 수도 있고 수렴할 수도 있다.

 

반례) f(x) = 1/x + x , g(x)= -1/x, a=0인 경우

각각은 극한이 존재하지 않지만,

둘이 더하면 x라 0에서 수렴한다.

 


 

문제8

수렴하는 것끼리 나눌 때 0만 아니면

극한 역시 존재한다.


 

문제9

거짓

극한값에 등호가 들어갈 수 있다.

이렇게 써야 참

 

반례) f(x) = x², g(x) = x²+x, a=0이면

모든 양수 x에 대하여 항상 f(x)<g(x)이지만

둘 다 0에서의 우극한은 0이다.


 

문제10

x+2=t로 치환하면 같은 식이 나온다. 


문제11

거짓

전자는 f(x)의 우극한만 알 수 있음.

좌극한에 대한 정보는 없으므로 모름.


문제12


문제13


문제14

거짓


문제15

문제 3과 동일함

근데 g가 0이어도 f가 0이어서 극한 존재할 수 있으므로,

전제조건이 없다해도 참임.


문제16


문제17


문제18

극한값이 0인걸 이용해서 증명하면 됩니다.


문제19

거짓

x로 묶어보면 f(x)/x는 

수렴 or 발산할 수도 있습니다.


문제20

t=1/x로 치환해서 정리하면

f(x)=x가 나오므로 참


문제21

f(x)=x+k이므로 참


문제22

거짓

0x무한대 꼴이므로

0, 상수, 발산 모두 가능


문제23

양변을 x로 나누고 극한을 취하면

조임정리에 의해 0으로 수렴


문제24

둘 다 수렴하므로 유도 가능


문제25

거짓


문제26

거짓


문제27

거짓


문제28


문제29

거짓


문제30

거짓


문제31


문제32


문제33


문제34


문제35


문제36

거짓

 


36문제가 상당히 많죠?

반례가 더 필요하거나,

추가 해설이 필요한 경우

수정 추가로 하겠습니다.^^

 

그럼 열공하시고,

다음에는 함수의 연속에 관한 진위판정 문제

들고 찾아올게요!

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