수학2에서의 합성함수의 미분법
오늘은 미적분에 나오는 미분법 말고,
수학2에서 써먹을 수 있는
다항함수 위주로 다룰 거에요.
보통 수학2에서는 합성함수의 미분법을
따로 다루지 않기 때문에,
곱의 미분법을 다 풀어서 쓰던가,
아래와 같이 수학적 귀납법을 이용해서
증명 후, 사용합니다.
수학적 귀납법을 이용한 다항함수의 거듭제곱 형태 미분 증명
보통은 수학1을 먼저 배우므로
수학적 귀납법을 사용해서 증명하는 것 같아요.
우선은 가장 작은 자연수일 때
성립하는 걸 먼저 보여줍니다.
곱의 미분법을 사용하면 깔끔하게 나오므로
n=2일때가 쉽게 증명됩니다.
물론 아래와 같이 n=1일 때도 성립합니다만,
f(x)의 0제곱이 들어 있어서
전 n=2일 때를 사용했어요.
어차피 이 공식을 사용하는 상황은
n≥2일 때니까요.ㅎㅎ
귀납법에 의하여 된다는 걸 증명했으니,
공식을 똑바로 외워서 사용하시면 됩니다.
도함수의 정의를 이용한 합성함수의 미분법 증명
이번에는 p(x)=f º g(x) = f(g(x))로 두고
p'(x)를 도함수의 정의로 유도해보겠습니다.
분모/분자에 g(x+h)-g(x)를 곱해서
식을 분리하여 정리해주는 것이 핵심입니다.
이과생들은 보통 겉미분x속미분 이런식으로
외울텐데, 아직 바로 하는 게 익숙치 않다면
치환을 해서 대입하면서
초반에 익히도록 합시다.
합성함수의 미분법 예시
문제1
속에 들어있는 식이 복잡해 보인다면,
처음엔 그냥 치환해서 겉미분/속미분을 쓰고
대입하여 정리하셔도 됩니다.
문제2
특히나 거듭제곱하는 식이 일차식인 경우
속미분했을 때 숫자가 나옵니다.
빼먹지 말고 치환해서 쓰세요.
곱의 미분법으로 나올 때도
동일하게 해주시면 됩니다.
좀 더 익숙해지면 나중에는
치환하지 않더라도 한 번에 될 거에요.
그 때까지 화이팅입니다!
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