한량 지아이의 수학 LIFE

일차 부등식의 활용에서 과부족 문제를 많이들 어려워하시는 것 같아 몇 개 풀이를 준비해보았습니다. 중학교 2학년 때 일차 부등식 배우면서 나오는 경우도 있고, 고1때 일차 부등식 하면서 다루는 경우도 종종 있더라고요. 그림으로 쉽게 풀이하였으니 도움이 되었으면 좋겠네요. 문제 1 어느 학년 학생 전체가 강당의 긴 의자에 앉는데 한 의자에 5명씩 앉으면 학생이 8명 남고, 6명씩 앉으면 의자가 4개 남는다. 다음 중 의자의 개수가 될 수 없는 것은? ①34 ②35 ③36 ④37 ⑤38 따라서 정답은 ⑤38 문제 2 아래 표는 두 식품 A,B에 대하여 각각 100g에 들어 있는 열량과 단백질의 양을 나타낸 것이다. 두 식품 A, B를 합하여 200g을 섭취하여 열량은 300 kcal 이상, 단백질은 30g ..

해석 기하를 처음 배울 때 같이 나오는 삼각형 중선 정리에 대해 다뤄볼까 합니다. 파푸스의 정리라고도 불리죠.모든 삼각형에서 성립하는 거고, 공식 자체는 아래와 같습니다. 삼각형 중선 정리 증명 (해석 기하)먼저 간단하게 증명을 해볼게요. 파푸스의 정리(=삼각형의 중선 정리) 증명은 삼각형을 좌표평면으로 옮겨서 하면 됩니다.증명 자체는 쉬운 편입니다. 사실 요즘 교육과정에서 내용이 많이 축소된 편이라, 이 정도만 다루는 학교도 꽤 많은 걸로 알고 있어요. 뭐.. 이걸 왜 배우나 싶지만 의외로 좌표 평면에서 문제 풀 때 종종 나온답니다. 증명이야 그냥 좌표 옮겨서 하면 되는 거니 별로 어렵지 않고, 적어도 공식은 잘 기억해야 합니다. 길이나 중점 나올 때 주로 쓰이고, 내/외분점이랑도 연결돼서 여러 번 나..

축에 접하는 원의 방정식 오늘은 축에 동시에 접하는 원의 방정식 중 두 축에 동시에 접하는 원을 다뤄볼까 합니다. x축에만 접하거나 y축에만 접하는 건 굳이 좌표의 절댓값과 반지름이 같다.. 고 외우기보단 전 항상 그래프를 그리는 게 습관이 되다 보니 절댓값을 쓰기보단 그냥 그림을 그려서 보게 되더라고요. 그렇지만 축에 동시에 접하는 원의 경우에는 중심도 y=x or y=-x위에 있기 때문에 훨씬 간단하게 풀 수 있습니다. 쉬운 문제들 보단 조금 난도가 있는 문제 몇 개만 같이 풀어보도록 할게요. 문제 1 중심이 곡선 y=x²-3x-3위에 있고, x축과 y축에 동시에 접하는 원은 4개 있다. 이 네 원의 중심을 각각 ABCD라 할 때, 사각형 ABCD의 넓이는 k이다. k²의 값은? x축과 y축에 동시에..

내외분점이나 무게중심 등을 이용하여 도형의 넓이비를 묻는 문제를 풀어보도록 할게요. 이런 유형을 풀기 전 중학교 2학년 때 배운 높이가 같은 두 삼각형의 넓이비를 알고 계셔야 합니다. 내외분점 위치만 잘 표기하고, 문제에 따라 차분히 도형을 제대로 그리기만 한다면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 같이 풀어보도록 해요 :-) 예제 1 평행사변형 ABCD의 대각선 BD의 중점을 M, △ABD의 무게중심을 G라고 하고, 선분 GD를 2:3으로 외분하는 점을 E라고 하자. △AED의 넓이는 △DGM의 넓이의 k배이다. 이때 k를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. 설명대로 그림을 그려봅시다. 평행사변형 ABCD 대각선 BD의 중점을 M △ABD의 무게중심을 G라고 하고, 선분 GD를 2:3으로 외분하는 점을 E라고..

부정방정식, 실수 조건일 때 해 구하는 방법 오늘은 부정방정식 중 실수 조건이 주어졌을 때 해를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 먼저 실수가 가진 성질을 생각해볼까요? 실수는 제곱하면 항상 0보다 크거나 같습니다. 즉 A가 실수이면 A²≥0이죠. 그래서 만약 두 실수 A,B가 있는데 A²+B²=0이라면 A=B=0일 수 밖에 없습니다. 실수 조건의 부정방정식에서, 완전제곱꼴로 모든 식을 바꿔줄 수 있다면 금방 풀 수 있습니다. 개인적으로는 주로 일차항을 보고 정리를 해주는데, 어렵다면 일단 하나의 문자라도 먼저 제곱식을 만들어 보세요. 그럼 나머지가 자동으로 나올 때가 많습니다. 문자나 숫자를 적절~히 쪼개서 완전제곱식을 만드는 거죠. 우선 연습을 좀 해볼까요? 다음 방정식을 만족시키는 실수 x,y의 ..

이차식으로 나눈 나머지 정리 오늘은 나머지 정리를 다뤄보겠습니다. 보통 일반적으로 서로 다른 수를 대입하여 푸는 건 쉽습니다. 그래서 많이들 틀리는 유형만 가볍게 다뤄볼까 해요. 첫 번째는 완전 제곱식으로 나눈 나머지 정리입니다. 아래 예제를 같이 풀면서 설명할게요. 예제 1 보통 이 문제를 풀 때 다들 아래와 같이 식까지는 세웁니다. 그리고 여기서 보통 많이들 헤매죠. 왜냐면 아는 식은 f(1), f(-2) 2개인데, 미지수가 a, b, c로 총 3개가 나오기 때문입니다. 조금 진정하고 살펴봅시다. 녹색으로 쓴 식 역시 이차식이고, f(x)는 주어진 세 식에서 모두 같은 식입니다. 즉, f(x)는 (x-1) ²으로 나눈 나머지가 3x+2라는 조건을 여기서도 그대로 쓸 수 있죠. (x-1) ²은 이차식이..

오늘은 직선에 대한 선대칭 중 기울기가 +-1일 때 빨리하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 선대칭은 기본적으로 2가지를 사용해서 풉니다. 직선과 수직인 기울기, 그리고 중점을 지난다는 점을 이용하죠. 그런데 기울기가 +1이거나 -1인 경우에는 그냥 점을 대입하는 것만으로 금방 풀 수 있답니다 :-) 우선 이 두 가지를 이용하여 증명을 해보도록 할게요.! 기울기가 1인 직선에 대하여 대칭인 도형의 좌표를 구해보겠습니다. 원래의 도형에 있는 점을 (x, y)라 하고, 대칭이동한 도형 위에 있는 점을 (X', Y')이라고 둡시다. f(x, y)=0이라는 식에 x 대신 Y'-p, y 대신 X'+p를 넣고 정리하여 f(Y'-p, X'+p)=0라고 쓰면 된다.! 근데 이 결론 자체가 별로 와닿지 않죠? 이럴 땐 그냥..

항등식과 조립제법 오늘은 항등식 중, 같은 다항식으로 여러 번 나눈 문제들을 조립제법으로 푸는 방법을 익혀보도록 할게요. 이건 보통 일반적으로 증명.. 은 잘 안 하는 편입니다. 모두 다 서로 다른 문자를 세팅해서 쓰다 보면 식이 엄청 길어지거든요...! 그리고 차수도 커질수록, 쓰는 게 길어지죠. 그래서 일단 몫 부분은 대충 생략했고, 차수는 그냥 좀 더 늘려가면서 쓰시면 돼서 가장 일반적으로 다루는 3차식의 경우에만 증명 비슷 그리한 걸 해보았습니다. 우선은 주어진 삼차식을 (x-α)로 나누면 몫과 나머지가 나오겠죠? 그다음 몫으로 나온 부분만 계속 반복하여 (x-α)로 나누어줍니다. 언제까지? 3차면 3번으로 최고차 계수만 남을 때 까지요..!! 이걸 하나씩 다 떼서 쓰자니 너무 힘들어서 컬러를 다..

예비 고1 학생들을 대상으로 물어보면 거의 99%, 못해도 96%의 학생들이 틀리는 방정식, 부등식 문제를 오늘 들고 왔습니다. 생긴 건 굉장히 심플하게 생겼는데, 아마 서술형으로 나오면 정답률이 50% 이하로 떨어질 거라고 예상하는 문제죠. 한 번 살펴볼까요? 1. 방정식 ax=b를 풀어라. 스크롤을 아래로 내리지 말고 한 번 풀어보세요. . . . . . . . . . . . . . 본인의 정답은 뭔가요? 보통 x=b/a라고 쓰고 끝납니다. 그렇지만 정답은 아래와 같죠. 생긴 게 일차방정식처럼 보이지만, 조건에 a가 0이 아니라는 말이 없으므로, 그것도 고려해서 경우를 나눠주어야 합니다. 이런 문제가 서술형으로 나오면 각 단계별로 배점이 배정되므로, x=b/a로만 썼다면, 점수를 반도 못 받겠죠? 그..

오늘은 선분의 내분점/외분점 문제 중 가장 많이들 헷갈려하는 선분의 길이비를 다룰까 합니다. 내분, 외분에 대한 정확한 정의와 개념이 없으면 풀기가 힘든 유형이죠. 공식보다는 선분을 m:n으로 내분/외분 한다는 의미를 먼저 복습하셔야 합니다. 1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다. 이 때 필요한 선행지식은 a:b=c:d이면 bc=ad라는 기본적인 것이죠 :-) 2. 좌표를 알고 있는 점을 찍고 등분점으로 나타냅니다. 3. 남은 점을 좌/우로 나누어 해당 길이비에 맞게 찍어준다. 4. 내/외분점으로 해석하여, 공식을 적용한다. 문제1 A(5,-2), B(-1,4)를 지나는 직선 AB위에 있고, 를 만족시키는 점 C의 좌표를 모두 구하시오. 해설 1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다. 를 비례식으로 나타..