[수학사] 적분이 먼저 발견되었는데 미분부터 배우는 이유는?

적분이 먼저 나왔고, 미분이 나중에 나왔다는 사실을 한 번쯤 들어보셨을 겁니다.

그런데 왜 우리는 학교에서 미분부터 배우고, 미분의 역연산 과정으로 적분을 배울까요?

 

미분, 적분 발견시기

적분의 탄생

적분 개념의 발생은 기원전 3세기경까지 거슬러 올라가야 합니다.

바로 이 분! 아르키메데스

아르키메데스 묘비에 그려진 그림

묘비에 그려진 그림으로 유명한 원뿔/구/원기둥입니다.

셋의 부피비는 1:2:3이죠.

죽을 때까지 도형 연구에 집중한 위대한 수학자죠.

 

우리는 원뿔의 부피가 원기둥 부피의 1/3이라는 사실을 압니다.

이 당시 곡면으로 둘러싸인 도형의 넓이나 부피를 어떻게 구했을까요?

 

아르키메데스는 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 다각형으로 근사시켜 구했습니다.

원을 잘게 잘라서 직사각형으로 근사시켜 구한다!

오늘날 적분을 이용하여 넓이를 구하는 방법과 유사하죠.

 이게 바로 적분의 태동이라고 봅니다.

 

왜 적분이 미분보다 2천년이나 먼저 등장한 것일까?

기하학(Geometry)

기하학이라는 용어를 먼저 살펴봅시다. 영어로 geometry죠.

여기서 geo-는 토지를, metry는 측량을 뜻합니다.

즉 토지 측량을 위해 도형을 연구하는 데서 기원한 학문이죠. 

 

기하학은 이집트에서 강의 범람에 따라 토지를 측정하여 재정비하기 위한데서 비롯된 학문이란 것이 정설입니다.

이 때 곡선으로 둘러싸인 불규칙한 모양의 토지를 측량해야겠죠?

이로 인해 곡선의 넓이를 다각형으로 근사시켜 구하는 사고가 일찍부터 탄생할 수 있었다고 봅니다.

 

미분의 탄생

미분은 17세기말에 생겨났습니다.

뉴턴

바로 요 두 분이 미분 탄생의 주인공들이죠.

:-)

라이프니츠

뉴턴과 라이프니츠는 서로가 다른 관점에서 연구하여 미분법을 제창했습니다.

뉴턴은 속도와 가속도, 접선에 대한 미분을 연구했고, 
라이프니츠는 함수가 변수의 변화량에 따라 어떻게 변하는지 변화율의 관점에서 연구를 진행하였죠.

 

이 부분은 다 쓰면 너무 길어지니,

나중에 미분의 탄생에 대해 좀 더 심도있게 다뤄보겠습니다.

 

뭐.. 결국은 실제로 먹고 살기 위해 측량을 했어야 하는 과거 사람들과 달리,

곡선의 접선을 긋는 문제나 최대/최소 문제와 관련된 미분은

적분에 비해 현실적인 필요가 절실히 드러나지 않았기 때문에 늦게 나타났다고 봅니다.

 

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원래는 적분과 미분은 각자 따로 연구되고 있었습니다.

그러다가 둘이 서로 역연산 관계에 있다는 게 나중에 발견되었죠.

이를 미적분학의 기본정리라고 합니다. :-)

 

뭐, 이와 같은 역사 발생적 원리를 미적분 지도에 직접적으로 적용한다면,

적분을 먼저 다루고, 미분을 이후에 도입한 후,

미적분학의 기본정리에 의해 이 두 가지 개념을 연결짓는 식이 되어야 하겠죠?

 

그러나 이 도입 순서는 현실적으로 많은 어려움이 따릅니다.

적분이 먼저 발견되었지만, 미분부터 배우는 이유

1. 적분의 경우 일반적인 방법이 존재하는 미분과 달리

함수식의 형태에 따라 적분 방법이 달라지기 때문에

미분에 비하여 전반적인 난이도가 높은 편입니다.

 

2. 미분의 역과정으로 적분을 도입하지 않을 경우,

구분구적법으로 적분을 구해야 하는데,

이 과정은 상당히 복잡하고 번거롭습니다.

 

이런 현실적인 이유로(?)

우리나라의 교육과정 및 교과서 뿐 아니라

대부분의 교재들은 미분을 먼저 도입하고 적분을 그 뒤에 배치합니다.

 

실제로 이번에 개정된 수학2에서는

구분구적법이 아에 빠져서 미적분으로 가기도 했죠.

(개념은 잘게 잘라서 더한다-는게 다인데...

막상 문제를 풀려면 난이도가 좀 있습니다.) 

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기본적인 전개는 미분->적분의 순서를 따르더라도,

미적분의 역사적 발생 과정을 염두에 두고,

발생의 맥락이 드러날 수 있도록 지도하는 것이 필요하다고 생각합니다.

 

 

출처 : 예비교사와 현직교사를 위한 수학교육과정과 교재연구
(경문사, 김남희/나귀수/박경미/이경화/정영옥/홍진곤 저)