첫째항부터 수열을 이루기 위한 합 조건

오늘 다뤄볼 내용은 수열에서 많이 나오는 Sn과 an 사이의 관계에 관한 내용입니다.

Sn과 an 사이의 관계 (수열의 합과 일반항 사이의 관계)

우선은 간단하게 수열의 합 Sn과 일반항 an 사이의 관계를 살펴봅시다.

 

Sn은 수열의 첫번째 항부터 n번째 항까지의 합입니다. 즉 누적해서 쭉 더하는 거죠.

1항부터 차례대로 더해주면 됩니다. 그렇다면 n항까지의 합이나 (n-1)항까지의 합도 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

우리가 수열에서 구하고 싶은 건 일반항이므로 둘을 빼서 정리해줍니다.

그럼 아래와 같은 관계식이 나오는 군요!

그런데 여기서 잠깐..! 수열은 첫번째 항부터 정의되기 때문에 실제 수열에서는 존재하지 않는 항입니다.

따라서 첫번째 항의 경우에는 차로 쓰지 않고 a1=S1으로 정의해서 새로 써줍니다.

 

첫째항부터 수열을 이루기 위한 조건

그렇다면 위 식을 따로 쓰지 않으려면, 즉 첫째항부터 수열을 이루기 위해서는 어떤 조건이 필요할까요? 

바로 S1-S0=S1이 되면 됩니다. 

즉, S0=0면 되죠!

 

만약 Sn이 주어졌을 때 S0=0이라면, 굳이 첫째항을 따로 쓸 필요 없이 식을 한 번만 써줘도 됩니다.

 

첫째항이 따로 노는 수열이 아니고, 첫항부터 일정한 규칙이 있는 수열이 되는 것이죠.

 

이걸 알면 계산 식이 단순해 지는 경우가 있답니다.

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예제 1

수열 {an}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 Sn이라 하면 아래와 같다. 이 때 수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루도록 하는 상수 k의 값은? 

일반항 구해서 맞추지 말고 그냥 S0=0인 걸 이용합시다. 즉 S0=6+k=0이므로 k=-6입니다.

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위의 수열에 합에 관한 내용은 굳이 등차수열/등비수열에 극한되는 이야기가 아닙니다. 애초에 증명 자체가 그냥 일반항과 수열의 합에서 갖고 온 것이기 때문에 모든 수열에 다 해당되죠. 

 

특히나 S0≠0일 땐, 첫째항을 꼭 따로 써야하므로, 까먹지 않고 쓸 수 있는 나름 좋은 팁이랍니다.

 

참, 그리고 수열의 합이 이차식일 때 바로 일반항 빨리 구하는 건 아래 포스팅을 참조하시면 굉장히 빠르게 계산하실 수 있답니다.

[수열] 등차수열의 합으로부터 등차수열의 일반항 빨리 구하는 방법

수열이 들어가는 정기고사는 시간이 많이 부족한 경우가 많아 자잘자잘한 팁을 가능한 최대한 익혀두시는 걸 추천드려요!

 

그럼 저는 다음에도 유익한 팁 갖고 올게요.

열공하세요. ^^