[부분합] 등차수열의 합도 등차수열, 등비수열의 합도 등비수열

부분합으로 이루어진 수열

오늘은 등차수열과 등비수열의 부분합으로 이루어진 수열을 살펴볼까 합니다. 간단하게 결론부터 이야기하자면, 앞에서부터 차례로 같은 개수로 끊어서 더하면 등차수열의 합은 등차수열, 등비수열의 합은 등비수열이에요.

 

이걸 이용하면 빨리 풀 수 있는 문제가 많기 때문에 한 번 익힌 다음 오래오래 써먹어봅시다.

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등차수열의 합은 등차수열

간단합니다. 등차수열을 n개씩 잘라서 더해볼게요. 

즉, 합끼리의 차도 항상 동일하기 때문에, 이 역시 등차수열입니다.

 

문자로 쓰니 조금 어려운가요? 좀 더 쉽게 예제를 풀면서 익혀보도록 할게요.

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예제 1

등차수열 {an}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자. S5=25, S10=75일 때, S15의 값을 구하시오.

 

앞에서부터 5개씩 잘라서 더한 다음 관찰을 해봅시다.

사실 50이 등차 중항이므로 바로 50x3=150으로 계산해도 됩니다. 그렇지만 일단 5개씩 잘라서 더한 값 역시 등차수열이란 걸 기억해 두면 좀 더 좋겠죠? 

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다음은 등비수열을 살펴봅시다.

등비수열의 합은 등비수열

역시나 마찬가지입니다. n개씩 잘라서 더한 부분합의 경우 역시나 등비수열임을 알 수 있죠. 등비수열의 경우에는 같은 항의 개수만큼 잘라서 더하면, 공비를 바로 계산하기도 매우 쉬운 편입니다. 

 

개인적으로 특히나 등비수열의 합의 경우, 공식에 거듭제곱이나 분수꼴이 계속 나와서 제가 계산이 좀 하기가 싫어서.. 나름 유용하게 쓰고 있달까요? 

 

아무튼 이것도 예제를 풀어보면서 익혀보도록 합시다.

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예제 2

 

등비수열 {an}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자. S10=10, S20=30일 때, S30의 값을 구하시오.

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수열은 계산하는 시간이 꽤나 걸리는 편이니 여러가지 팁들을 알고 계시면 시험 볼 때 도움이 꽤 많이 된답니다.

 

나중에 같은 내용인데 다른 유형이라 다뤄야하는 문제들이 있다면 좀 더 추가로 올려보도록 할게요. 

그럼 열공하세요!