[함수의 수렴과 연속] 수렴, 발산과 연속, 불연속 진위판정 쉽게 하는 방법

오늘은 함수의 수렴과 연속의 성질들을 쉽게 외우는 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

우리가 고2 내신을 준비하다보면, 진위 판정을 한 번쯤은 해보게 됩니다.

이게 은근 어렵죠.

 

나중에 좀 더 쓸텐데 진위판정에서는 

되는 성질을 잘 외우시는 것이 중요합니다.

 

먼저 가장 기본적인 성질들을 살펴보기 전,

간단한 개념 하나만 살펴봅시다.

 

이항연산에서 '닫혀있다'라는 개념입니다.

A라는 집합과 *라는 연산에 대하여

연산 결과가 항상 A라는 집합에 포함된다면,

A는 *에 대하여 닫혀있다고 표현합니다.

 

영어로는 말 그대로 Close

 

예시를 들자면,

자연수 집합 N과 덧셈 연산+을 살펴보면,

자연수 + 자연수 = 자연수가 되죠.

이 때 +는 N에 대하여 닫혀있다고 표현합니다.

 

그럼 뺄셈은 어떨까요?

자연수 - 자연수 = 항상 자연수가 되나요?

아니죠. 3-5=-2인데 -2는 자연수가 아닙니다.

그래서 -는 N에 대하여 닫혀있지 않다고 표현합니다.

혹은 열려있다고 표현도 있긴 합니다만,

거의 사용되는 걸 못 본 듯 해요.

 

그러니까 이 닫혀있다는 표현은

어떤 집합이냐, 어떤 연산이냐에 따라

다 달라지는 거죠.

 

자연수는 덧셈과 곱셈에 대해서는 닫혀있지만,

뺄셈과 나눗셈에 대해서는 닫혀있지 않습니다.

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그럼 이제 다른 연산들을 살펴봅시다.

 

우리가 아는 집합 중 유리수와

간단한 사칙연산을 살펴봅시다.

 

유리수의 사칙연산

유리수끼리는 더해도, 빼도 유리수입니다. 

 

유리수 + 유리수 = 유리수

유리수 - 유리수 = 유리수

덧셈, 뺄셈에 대해 닫혀있습니다.

유리수끼리는 곱셈과 나눗셈을 해도 유리수죠.

유리수 x 유리수 = 유리수

유리수 / 유리수 = 유리수

곱셈에도 닫혀있고

나눗셈에서도 닫혀있죠.

즉 사칙연산에 대해서

유리수와 유리수를 연산하면

결과가 항상 유리수가 나옵니다.

 

즉, 유리수는 모든 사칙연산에 대하여

닫혀있네요.

 

사실 이런 수집합은 인류 역사상

유리수가 처음이었습니다.

 

모든 사칙연산에 대해서 닫혀있다니,

유리수는 완벽한 수야!!

-라고 옛날 사람들은 생각했다네요.

 

그래서 당시 사람들은

유리수가 아닌 수가 등장했을 때,

그 존재를 부정했다고 합니다.  

 

무리수의 사칙연산

반면 무리수를 한 번 볼까요?

무리수 + 무리수는 무리수일까요? 

아님을 바로 알 수 있죠.

다른 사칙 연산은 어떨까요?

무리수끼리 연산했는데 유리수가 나오는군요.

즉, 무리수는 모든 연산에 대해서 

닫혀있지 않네요.

 

그렇다면 무리수 + 무리수는 유리수일까요?

무리수끼리 연산했을 때 무리수가 나올수도 있죠.

이런.. 그렇다면 무리수와 무리수는

어떤 사칙연산을 했을 때 그 결과가

유리수다, 혹은 무리수다 하고

결론을 내릴 수 없습니다.

 

함수의 수렴과 발산

 

이러한 관계가 함수에서 수렴/발산을 판정할 때도

동일하게 사용될 수 있습니다.

즉, 수렴하는 함수집합과 사칙연산은

닫혀있는 관계죠.

 

반대로 발산하는 함수집합과 사칙연산은

닫혀있지 않습니다.

여기서 닫혀있지 않다는 건,

결과를 보장할 수 없다는 거에요.

 

발산하는 함수끼리 연산했을 때는

발산하는 함수가 나오기도 하고,

수렴하는 함수가 나오기도 합니다.

 

위에서 무리수의 연산과 비슷하다고

생각하시면 돼요.

언제는 유리수가 나오고 언제는 무리수가 나오듯이-

 

그래서 연속/불연속을 판정할 때

이 성질을 이용하면 쉽게 판정이 됩니다.

다음에 예시를 들어서 좀 더 자세히 써볼게요:-)

 

함수의 연속과 불연속

마찬가지로 연속하는 함수집합과 

사칙연산도 닫혀있습니다.

 

연속하는 함수끼리 사칙연산을 시행해도

결과는 항상 연속입니다.

불연속하는 함수끼리는 

연속이 나올 때도 있고 불연속일 때도 있어서

뭐다!!라고 이야기 할 수 없죠.

 

	닫혀있다.	닫혀있지 않다.
유리수 vs 무리수	유리수 + 유리수 = 유리수	무리수 + 무리수 = ??
	유리수 - 유리수 = 유리수	무리수 - 무리수 = ??
	유리수 x 유리수 = 유리수	무리수 x 무리수 = ??
	유리수 / 유리수( 0이 아님 ) = 유리수	무리수 / 무리수 = ??
수렴 vs 발산	수렴 + 수렴 = 수렴	발산 + 발산 = ??
	수렴 - 수렴 = 수렴	발산 - 발산 = ??
	수렴 x 수렴 = 수렴	발산 x 발산 = ??
	수렴 / 수렴( 0이 아님) = 수렴	발산 / 발산( 0이 아님) = ??
연속 vs 불연속	연속 + 연속 = 연속	불연속 + 불연속 = ??
	연속 - 연속 = 연속	불연속 - 불연속 = ??
	연속 x 연속 = 연속	불연속 x 불연속 = ??
	연속 / 연속( 0이 아님) = 연속	불연속 / 불연속( 0이 아님) = ??

연산에 대하여 닫혀있다는 개념이

제가 고1때는 배웠는데 꽤 오래 전 삭제 됐습니다.

알아두면 유용한 개념이기에,

가볍게 훑어보시면 좋을 것 같네요.

 

그럼 열공하셔요~!