한량 지아이의 수학 LIFE

명제가 거짓임을 보이기 위한 반례 오늘은 명제 p이면 q이다가 거짓임을 보이기 위한 반례를 잡는 법을 배워보도록 해요! p이면 q이다. 이 명제가 참이라면 P⊂Q입니다. 이 명제가 거짓이라면 P에는 속하지만 Q에는 속하지 않는 원소가 있겠죠? 그게 바로 반례입니다. 즉 우리가 p이면 q이다가 거짓이라고 말하려면, p이지만 q가 아닌 원소를 갖고와야 하는 거죠. 예를 들어볼까요? p : 노래를 잘한다. q : 키가 크다. 여기서 우리가 p->q가 참이라고 주장하는 건 노래를 잘하면 키가 크다 이렇게 만들어 볼 수 있겠군요. 이 주장이 틀렸다는 걸 보여주려면 어떤 사람을 데려와야 할까요? 노래는 잘 하지만, 키는 작은 친구를 데려와야겠죠? 즉 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 원소가 반례입니다. 그럼 이제..

관계식이 주어진 경우의 미분, 적분 오늘은 주어진 식을 변형하여 도함수를 구하는 걸 해 볼 겁니다. f(x+y)=f(x)+f(y)+뭐시기~형태로 정의되는 함수를 변형시켜서 도함수를 구해보는거죠! 사실은 일반화도 가능하고, 로피탈을 이용하면 원하는 값만 빠르게 구할 수도 있지만 우선 정석대로 푸는 법을 익히는 것이 가장 기본인지라, 우선 오늘은 전부 정석대로 유도해서 풀어보도록 할 겁니다. 우선은 도함수의 정의를 알고 있어야겠죠? 주어진 함수에서 f(x+h)-f(x)의 식을 구할 수 있으므로 이걸 집어넣고 대입하여 정리하면 됩니다. 보통 문자는 x와 y로 주어지는데 편의상 보기 편하게 y 대신 h를 대입해서 정리하면 됩니다. 이렇게만 들으니 잘 이해가 안가죠? 문제를 직접 풀어보면서 익히도록 해요! 문제1..

최단거리 경우의 수 이 부분이 유형이 다양한데 문제지마다 다 실려있는 게 아니라, 문제풀이 포스팅을 몇 번 더 해볼까 합니다. 가장 기초적인 문제는 아래의 포스팅으로 먼저 풀어보시고, 이 정도는 다 풀 수 있고, 더 추가로 공부하고 싶은 경우에는 오늘 수록한 문제들을 추가로 더 도전해보세요! https://ladyang86.tistory.com/82 [경우의 수] 최단거리 문제풀이 #1 (기본문제) 최단거리 문제는 살짝만 바꿔도 조금씩 달라지므로 최대한 다양한 문제를 풀어서 연습하는 것이 중요합니다. 예제1. 아래 그림과 같은 도로망이 있을 때, A지점에서 출발하여 B까지 최단거리로 ladyang86.tistory.com 예제1 아래의 그림은 A와 D 사이의 경로를 나타내고 있다. 1. A에서 D로 가는..

오늘은 수학적 귀납법에서 종종 등장하는 점화식 유형 하나를 다뤄볼까합니다. 원래는 치환해서 푸는 내용까지 교육과정에 있었는데요-, 삭제되었습니다. 다만, 교육과정에서 목표하는 'n에 차례로 수를 대입해서 구한다'는 방법으로 일반항을 제외한 특정항의 경우에는 값을 구할 수 있습니다. 그래서 (아직까지도) 몇몇 교재에서 다루거나, 알려주시는 선생님들이 계셔서 포스팅하게 되었습니다. 바로 등차수열도, 등비수열도 아닌- 마치 일차함수처럼(?) 생긴 점화식이죠. (p가 1이면 등차수열이 되고, q=0이면 등비수열이 되기 때문에 그냥 일반항을 바로 구할 수 있습니다.) 오늘은 이 수열에서 차례로 n에 숫자를 대입하는 방법 말고, 직접 일반항을 구하는 방법을 배워볼 예정입니다. 단계는 아래와 같습니다. 1. 우선 주..

시그마의 성질, 주의해야 할 점과 증명들. 보통 수학1에서 수열파트를 배울 때, 등차/등비까지는 무난하게 학습하다가 처음으로 어려움을 느끼는 단원이 시그마가 아닐까 싶습니다. 처음 등장하는 기호이기도 하고요-, 오늘은 시그마 기호의 성질을 증명해보도록 할게요. 1. 합 시그마 기호 안에 합으로 들어있는 수열들은 각각 따로 시그마 기호를 걸어줄 수 있습니다. 마치 시그마 기호를 분배법칙으로 쓴 것 같은 모양새네요! 2. 차 차도 합과 마찬가지입니다. 3. 상수배 상수가 수열에 곱해져있는 경우에는 시그마 기호 밖으로 빼셔도 됩니다. 4. 상수 상수의 경우에는 n만큼 상수를 더한 것이므로 둘을 곱해서 적어주시면 됩니다. 이제부터 시그마 기호 쓸 때의 주의사항을 알아볼게요. 1. 합과 곱은 마치 분배법칙처럼 썼..

지수함수와 로그함수의 평행이동 또는 대칭이동에 대해 살펴봅시다. 기본적인 평행이동/대칭이동은 다들 아실테니 설명을 생략하고 넘어가겠습니다. 오늘은 종종 내신에서 다루는 지수함수 또는 로그함수를 평행이동, 대칭이동해서 만들 수 없는 모양을 물어보는 문제를 풀어볼거에요. 지수함수 밑이 같으면 얼마든지 평행이동 or 대칭이동해서 만들 수 있습니다. 앞에 상수배가 되어 있어도 얼마든지 평행이동으로 바꿀 수 있습니다. 다만 밑이 다른 건 폭이 다른거라 커버가 불가능합니다.! 문제1 ㄱ. y축으로 1만큼 평행이동 ㄴ. y축으로 대칭이동 후 x축으로 -log₂3만큼 평행이동 ㄷ. x축으로 대칭이동 후, y축으로 -3만큼 평행이동 ㄹ. 밑이 4이므로 불가능 정답 : ㄱ, ㄴ, ㄷ 문제2 ㄱ. x축으로 대칭이동 후 y축..

예비 고1 학생들을 대상으로 물어보면 거의 99%, 못해도 96%의 학생들이 틀리는 방정식, 부등식 문제를 오늘 들고 왔습니다. 생긴 건 굉장히 심플하게 생겼는데, 아마 서술형으로 나오면 정답률이 50% 이하로 떨어질 거라고 예상하는 문제죠. 한 번 살펴볼까요? 1. 방정식 ax=b를 풀어라. 스크롤을 아래로 내리지 말고 한 번 풀어보세요. . . . . . . . . . . . . . 본인의 정답은 뭔가요? 보통 x=b/a라고 쓰고 끝납니다. 그렇지만 정답은 아래와 같죠. 생긴 게 일차방정식처럼 보이지만, 조건에 a가 0이 아니라는 말이 없으므로, 그것도 고려해서 경우를 나눠주어야 합니다. 이런 문제가 서술형으로 나오면 각 단계별로 배점이 배정되므로, x=b/a로만 썼다면, 점수를 반도 못 받겠죠? 그..

오늘은 선분의 내분점/외분점 문제 중 가장 많이들 헷갈려하는 선분의 길이비를 다룰까 합니다. 내분, 외분에 대한 정확한 정의와 개념이 없으면 풀기가 힘든 유형이죠. 공식보다는 선분을 m:n으로 내분/외분 한다는 의미를 먼저 복습하셔야 합니다. 1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다. 이 때 필요한 선행지식은 a:b=c:d이면 bc=ad라는 기본적인 것이죠 :-) 2. 좌표를 알고 있는 점을 찍고 등분점으로 나타냅니다. 3. 남은 점을 좌/우로 나누어 해당 길이비에 맞게 찍어준다. 4. 내/외분점으로 해석하여, 공식을 적용한다. 문제1 A(5,-2), B(-1,4)를 지나는 직선 AB위에 있고, 를 만족시키는 점 C의 좌표를 모두 구하시오. 해설 1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다. 를 비례식으로 나타..

제가 최근에 수학 교양서를 달리고 있는데, 의외로 구성이 허접하거나(?) 표지만 그럴싸하고 정작 내용은 별 거 없는 책들이 꽤 있어서 책 포스팅 하는데 시간이 좀 걸렸네요. 대신 그만큼 오늘은 진짜 너무 재밌게 읽은 수학 교양서 한 권 들고 왔습니다. !! 바로 디멘의 발칙한 수학책입니다. 이 책은 진짜 찐입니다. 내용이 알차고 좋아요. 게다가 재미도 있고 유익하죠! 수학교육 & 컴퓨터교육을 둘 다 전공한 제가 보증컨대 이 책은 진짜 괜찮습니다.ㅎㅎ 추천 학년 현재 학년보다는 지금까지 배운 커리큘럼에 따라 추천 학년이 다른 듯 해요. 어차피 위상수학이나 컴퓨터 과학은 고등학교 때 배우는 내용은 아니라서요.ㅎㅎ 책이 쉽기 때문에 고등학생이면 충분히 읽을 수 있을 듯 합니다. 중간에 순간 변화율이나 사잇값정..

정적분 넓이 공식 (이차함수 근, 삼차함수 중근) 오늘은 굉장히 자주 사용되지만, 증명하기에 너무 오래 걸리기 때문에 반드시 외워야하는 적분 넓이 공식 두 가지를 살펴보려고 합니다. 첫번째는 가장 일반적으로 쓰이는 이차함수 넓이공식입니다. 1. 이차함수의 넓이 공식 이차함수와 축, 이차함수와 직선, 두 이차함수로 둘러싸인 부분의 넓이도 동일하게 구하시면 됩니다. 증명은 아래와 같이 직접 하시면 됩니다. 음.. 보면 아시겠지만, 이걸 매번 직접 계산한다면 매우 힘들겠죠? 게다가 두 근이 정수가 아니라 분수나 무리수가 나온다면 더 계산이 복잡해질테니, 되도록이면 공식을 외워서 쓰도록 합시다. 이건 대상이 최고차가 이차인 다항함수 사이에서는 항상 쓸 수 있는 방법이에요. 그럼 예시 문제를 몇 개 풀어볼까요? ..