한량 지아이의 수학 LIFE

수학2 킬러문항 선대칭, 절댓값, 미분가능,연속 문제 선대칭을 이용해서 풀어야 하는 좋은 문제들 몇 개를 선정해보았습니다. 절댓값이나 미분가능/불가능 이슈를 반드시 숙지하고 있어야 해요. 그래프를 그리면 쉽게 풀리는 문제들입니다. 아니라면 엄.. 좀 많이 돌아가죠. 자잘한 테마별로 알아야 할 것들이 많은데 그 모든 걸 여기에서 해설하며 풀자니 양이 너무 많은 편이라, 우선은 상세한 풀이와 문제만 올려두고, 나머지 테마는 차차 하도록 해요. 이 부분을 풀기 전엔 먼저 x=a 대칭과 y=b 대칭에 관한 함수식 표현을 알고 계셔야 합니다. 그리고 절댓값이 포함된 그래프나 미분가능/불가능 이슈 모두 다요.. 내용은 기회가 되면 다음에 정리해서 올리도록 할게요! 문제1. 2015년 3월 B형 #28 먼저 주어진 ..

지수방정식, 로그방정식 치환했을 때의 근 오늘은 지수방정식이나 로그방정식에서 치환해서 푸는 유형을 다뤄볼까 합니다. 자, 우선 방정식에서 '근'이라는 건, 일반적으로 x라는 문자를 지칭합니다. 즉, 주어진 방정식에서 근이라고 불리는 건 x 대신 써도 되는 것들을 말하죠. 그런데 이게 치환해도 같아질까요? 당연히 지칭하는 대상이 달라지기 때문에, '근'이라는 용어로 퉁치지 말고 하나씩 따져가면서 꼼꼼하게 풀어주셔야 합니다. 정 헷갈린다면 치환해서 나오는 근도 새로운 문자로 둬서 구분을 해보도록 해요! 이것도 문제를 하나씩 풀어가면서 용어에 좀 익숙해져봐요! :-) 문제1 여기서 지칭하는 근은 x입니다. 치환했을 때의 치환문자 t가 근이 아니에요. 그래서 t로 치환했을 때는 해당 방정식의 두 근을 t1, t..

중3 때 배운 제곱근이 수학1에서는 거듭제곱근으로 확장돼서 나옵니다. 이 부분이 특히 개념이 어렵죠. 계속 반복해서 정의를 읽고 외우셔야 합니다. 그래서 우선은 거듭제곱근 관련 문제를 쭉 선별해두었으니 같이 풀어보면서 학습을 해 나갑시다.! 문제 1 정답 : ③ ① x : 16의 네제곱근은 4개이다. ② x : 세제곱근은 항상 실근이 존재한다. ③ o : 두 실근이 ⁴√81, -⁴√81이므로 곱하면 -3√3이다. ④ x : 둘 다 실근은 1개만 존재한다. ⑤ x : 항상 0이 실근으로 존재한다. 문제 2 정답 : ⑤번 ① o ② o ③ o ④ o ⑤ x : 교점의 y좌표가 아닌 x좌표와 같다. 문제 3 정답 : ⑤ ① x : 0이 있다. ② x : 복소수 범위에서 n개 존재합니다. ③ x : 두 개 중 ..

오늘은 직선에 대한 선대칭 중 기울기가 +-1일 때 빨리하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 선대칭은 기본적으로 2가지를 사용해서 풉니다. 직선과 수직인 기울기, 그리고 중점을 지난다는 점을 이용하죠. 그런데 기울기가 +1이거나 -1인 경우에는 그냥 점을 대입하는 것만으로 금방 풀 수 있답니다 :-) 우선 이 두 가지를 이용하여 증명을 해보도록 할게요.! 기울기가 1인 직선에 대하여 대칭인 도형의 좌표를 구해보겠습니다. 원래의 도형에 있는 점을 (x, y)라 하고, 대칭이동한 도형 위에 있는 점을 (X', Y')이라고 둡시다. f(x, y)=0이라는 식에 x 대신 Y'-p, y 대신 X'+p를 넣고 정리하여 f(Y'-p, X'+p)=0라고 쓰면 된다.! 근데 이 결론 자체가 별로 와닿지 않죠? 이럴 땐 그냥..

항등식과 조립제법 오늘은 항등식 중, 같은 다항식으로 여러 번 나눈 문제들을 조립제법으로 푸는 방법을 익혀보도록 할게요. 이건 보통 일반적으로 증명.. 은 잘 안 하는 편입니다. 모두 다 서로 다른 문자를 세팅해서 쓰다 보면 식이 엄청 길어지거든요...! 그리고 차수도 커질수록, 쓰는 게 길어지죠. 그래서 일단 몫 부분은 대충 생략했고, 차수는 그냥 좀 더 늘려가면서 쓰시면 돼서 가장 일반적으로 다루는 3차식의 경우에만 증명 비슷 그리한 걸 해보았습니다. 우선은 주어진 삼차식을 (x-α)로 나누면 몫과 나머지가 나오겠죠? 그다음 몫으로 나온 부분만 계속 반복하여 (x-α)로 나누어줍니다. 언제까지? 3차면 3번으로 최고차 계수만 남을 때 까지요..!! 이걸 하나씩 다 떼서 쓰자니 너무 힘들어서 컬러를 다..

삼차함수의 접선이 곡선과 다시 만나는 점 오늘은 삼차함수에서 알아두면 매우 좋은 꿀팁 하나 알려드리려고 합니다. 바로 삼차함수의 접선이 다시 함수와 만나는 점에 관한 내용이에요. 삼차함수에서 접선과 함수가 다시 만나는 점의 좌표는, 세 근의 합을 이용하여 바로 구할 수 있습니다. :-) 이 유형은 은근 자주 쓰이기 때문에 꼭 익혀두시는 편이 좋습니다. 먼저 원리를 가볍게 증명하고 문제를 같이 풀어보도록 해요! 먼저 아래와 같이 삼차함수를 f(x), 접선을 g(x)라 두고, 접점의 좌표를 α(중근), β로 둡시다. 즉, 삼차함수와 일차함수의 교점이 α(중근), β입니다. 이는 두 함수식을 연립해서 근을 구하면 됩니다만, 그것도 귀찮기 때문에, 저희는 삼차방정식의 근과 계수와의 관계를 사용할 거에요! 여기서..

명제가 거짓임을 보이기 위한 반례 오늘은 명제 p이면 q이다가 거짓임을 보이기 위한 반례를 잡는 법을 배워보도록 해요! p이면 q이다. 이 명제가 참이라면 P⊂Q입니다. 이 명제가 거짓이라면 P에는 속하지만 Q에는 속하지 않는 원소가 있겠죠? 그게 바로 반례입니다. 즉 우리가 p이면 q이다가 거짓이라고 말하려면, p이지만 q가 아닌 원소를 갖고와야 하는 거죠. 예를 들어볼까요? p : 노래를 잘한다. q : 키가 크다. 여기서 우리가 p->q가 참이라고 주장하는 건 노래를 잘하면 키가 크다 이렇게 만들어 볼 수 있겠군요. 이 주장이 틀렸다는 걸 보여주려면 어떤 사람을 데려와야 할까요? 노래는 잘 하지만, 키는 작은 친구를 데려와야겠죠? 즉 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 원소가 반례입니다. 그럼 이제..

관계식이 주어진 경우의 미분, 적분 오늘은 주어진 식을 변형하여 도함수를 구하는 걸 해 볼 겁니다. f(x+y)=f(x)+f(y)+뭐시기~형태로 정의되는 함수를 변형시켜서 도함수를 구해보는거죠! 사실은 일반화도 가능하고, 로피탈을 이용하면 원하는 값만 빠르게 구할 수도 있지만 우선 정석대로 푸는 법을 익히는 것이 가장 기본인지라, 우선 오늘은 전부 정석대로 유도해서 풀어보도록 할 겁니다. 우선은 도함수의 정의를 알고 있어야겠죠? 주어진 함수에서 f(x+h)-f(x)의 식을 구할 수 있으므로 이걸 집어넣고 대입하여 정리하면 됩니다. 보통 문자는 x와 y로 주어지는데 편의상 보기 편하게 y 대신 h를 대입해서 정리하면 됩니다. 이렇게만 들으니 잘 이해가 안가죠? 문제를 직접 풀어보면서 익히도록 해요! 문제1..

최단거리 경우의 수 이 부분이 유형이 다양한데 문제지마다 다 실려있는 게 아니라, 문제풀이 포스팅을 몇 번 더 해볼까 합니다. 가장 기초적인 문제는 아래의 포스팅으로 먼저 풀어보시고, 이 정도는 다 풀 수 있고, 더 추가로 공부하고 싶은 경우에는 오늘 수록한 문제들을 추가로 더 도전해보세요! https://ladyang86.tistory.com/82 [경우의 수] 최단거리 문제풀이 #1 (기본문제) 최단거리 문제는 살짝만 바꿔도 조금씩 달라지므로 최대한 다양한 문제를 풀어서 연습하는 것이 중요합니다. 예제1. 아래 그림과 같은 도로망이 있을 때, A지점에서 출발하여 B까지 최단거리로 ladyang86.tistory.com 예제1 아래의 그림은 A와 D 사이의 경로를 나타내고 있다. 1. A에서 D로 가는..

오늘은 수학적 귀납법에서 종종 등장하는 점화식 유형 하나를 다뤄볼까합니다. 원래는 치환해서 푸는 내용까지 교육과정에 있었는데요-, 삭제되었습니다. 다만, 교육과정에서 목표하는 'n에 차례로 수를 대입해서 구한다'는 방법으로 일반항을 제외한 특정항의 경우에는 값을 구할 수 있습니다. 그래서 (아직까지도) 몇몇 교재에서 다루거나, 알려주시는 선생님들이 계셔서 포스팅하게 되었습니다. 바로 등차수열도, 등비수열도 아닌- 마치 일차함수처럼(?) 생긴 점화식이죠. (p가 1이면 등차수열이 되고, q=0이면 등비수열이 되기 때문에 그냥 일반항을 바로 구할 수 있습니다.) 오늘은 이 수열에서 차례로 n에 숫자를 대입하는 방법 말고, 직접 일반항을 구하는 방법을 배워볼 예정입니다. 단계는 아래와 같습니다. 1. 우선 주..