한량 지아이의 수학 LIFE

최단거리 경우의 수 이 부분이 유형이 다양한데 문제지마다 다 실려있는 게 아니라, 문제풀이 포스팅을 몇 번 더 해볼까 합니다. 가장 기초적인 문제는 아래의 포스팅으로 먼저 풀어보시고, 이 정도는 다 풀 수 있고, 더 추가로 공부하고 싶은 경우에는 오늘 수록한 문제들을 추가로 더 도전해보세요! https://ladyang86.tistory.com/82 [경우의 수] 최단거리 문제풀이 #1 (기본문제) 최단거리 문제는 살짝만 바꿔도 조금씩 달라지므로 최대한 다양한 문제를 풀어서 연습하는 것이 중요합니다. 예제1. 아래 그림과 같은 도로망이 있을 때, A지점에서 출발하여 B까지 최단거리로 ladyang86.tistory.com 예제1 아래의 그림은 A와 D 사이의 경로를 나타내고 있다. 1. A에서 D로 가는..

오늘은 수학적 귀납법에서 종종 등장하는 점화식 유형 하나를 다뤄볼까합니다. 원래는 치환해서 푸는 내용까지 교육과정에 있었는데요-, 삭제되었습니다. 다만, 교육과정에서 목표하는 'n에 차례로 수를 대입해서 구한다'는 방법으로 일반항을 제외한 특정항의 경우에는 값을 구할 수 있습니다. 그래서 (아직까지도) 몇몇 교재에서 다루거나, 알려주시는 선생님들이 계셔서 포스팅하게 되었습니다. 바로 등차수열도, 등비수열도 아닌- 마치 일차함수처럼(?) 생긴 점화식이죠. (p가 1이면 등차수열이 되고, q=0이면 등비수열이 되기 때문에 그냥 일반항을 바로 구할 수 있습니다.) 오늘은 이 수열에서 차례로 n에 숫자를 대입하는 방법 말고, 직접 일반항을 구하는 방법을 배워볼 예정입니다. 단계는 아래와 같습니다. 1. 우선 주..

시그마의 성질, 주의해야 할 점과 증명들. 보통 수학1에서 수열파트를 배울 때, 등차/등비까지는 무난하게 학습하다가 처음으로 어려움을 느끼는 단원이 시그마가 아닐까 싶습니다. 처음 등장하는 기호이기도 하고요-, 오늘은 시그마 기호의 성질을 증명해보도록 할게요. 1. 합 시그마 기호 안에 합으로 들어있는 수열들은 각각 따로 시그마 기호를 걸어줄 수 있습니다. 마치 시그마 기호를 분배법칙으로 쓴 것 같은 모양새네요! 2. 차 차도 합과 마찬가지입니다. 3. 상수배 상수가 수열에 곱해져있는 경우에는 시그마 기호 밖으로 빼셔도 됩니다. 4. 상수 상수의 경우에는 n만큼 상수를 더한 것이므로 둘을 곱해서 적어주시면 됩니다. 이제부터 시그마 기호 쓸 때의 주의사항을 알아볼게요. 1. 합과 곱은 마치 분배법칙처럼 썼..

지수함수와 로그함수의 평행이동 또는 대칭이동에 대해 살펴봅시다. 기본적인 평행이동/대칭이동은 다들 아실테니 설명을 생략하고 넘어가겠습니다. 오늘은 종종 내신에서 다루는 지수함수 또는 로그함수를 평행이동, 대칭이동해서 만들 수 없는 모양을 물어보는 문제를 풀어볼거에요. 지수함수 밑이 같으면 얼마든지 평행이동 or 대칭이동해서 만들 수 있습니다. 앞에 상수배가 되어 있어도 얼마든지 평행이동으로 바꿀 수 있습니다. 다만 밑이 다른 건 폭이 다른거라 커버가 불가능합니다.! 문제1 ㄱ. y축으로 1만큼 평행이동 ㄴ. y축으로 대칭이동 후 x축으로 -log₂3만큼 평행이동 ㄷ. x축으로 대칭이동 후, y축으로 -3만큼 평행이동 ㄹ. 밑이 4이므로 불가능 정답 : ㄱ, ㄴ, ㄷ 문제2 ㄱ. x축으로 대칭이동 후 y축..

예비 고1 학생들을 대상으로 물어보면 거의 99%, 못해도 96%의 학생들이 틀리는 방정식, 부등식 문제를 오늘 들고 왔습니다. 생긴 건 굉장히 심플하게 생겼는데, 아마 서술형으로 나오면 정답률이 50% 이하로 떨어질 거라고 예상하는 문제죠. 한 번 살펴볼까요? 1. 방정식 ax=b를 풀어라. 스크롤을 아래로 내리지 말고 한 번 풀어보세요. . . . . . . . . . . . . . 본인의 정답은 뭔가요? 보통 x=b/a라고 쓰고 끝납니다. 그렇지만 정답은 아래와 같죠. 생긴 게 일차방정식처럼 보이지만, 조건에 a가 0이 아니라는 말이 없으므로, 그것도 고려해서 경우를 나눠주어야 합니다. 이런 문제가 서술형으로 나오면 각 단계별로 배점이 배정되므로, x=b/a로만 썼다면, 점수를 반도 못 받겠죠? 그..

오늘은 선분의 내분점/외분점 문제 중 가장 많이들 헷갈려하는 선분의 길이비를 다룰까 합니다. 내분, 외분에 대한 정확한 정의와 개념이 없으면 풀기가 힘든 유형이죠. 공식보다는 선분을 m:n으로 내분/외분 한다는 의미를 먼저 복습하셔야 합니다. 1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다. 이 때 필요한 선행지식은 a:b=c:d이면 bc=ad라는 기본적인 것이죠 :-) 2. 좌표를 알고 있는 점을 찍고 등분점으로 나타냅니다. 3. 남은 점을 좌/우로 나누어 해당 길이비에 맞게 찍어준다. 4. 내/외분점으로 해석하여, 공식을 적용한다. 문제1 A(5,-2), B(-1,4)를 지나는 직선 AB위에 있고, 를 만족시키는 점 C의 좌표를 모두 구하시오. 해설 1. 주어진 식을 비례식으로 표현합니다. 를 비례식으로 나타..

제가 최근에 수학 교양서를 달리고 있는데, 의외로 구성이 허접하거나(?) 표지만 그럴싸하고 정작 내용은 별 거 없는 책들이 꽤 있어서 책 포스팅 하는데 시간이 좀 걸렸네요. 대신 그만큼 오늘은 진짜 너무 재밌게 읽은 수학 교양서 한 권 들고 왔습니다. !! 바로 디멘의 발칙한 수학책입니다. 이 책은 진짜 찐입니다. 내용이 알차고 좋아요. 게다가 재미도 있고 유익하죠! 수학교육 & 컴퓨터교육을 둘 다 전공한 제가 보증컨대 이 책은 진짜 괜찮습니다.ㅎㅎ 추천 학년 현재 학년보다는 지금까지 배운 커리큘럼에 따라 추천 학년이 다른 듯 해요. 어차피 위상수학이나 컴퓨터 과학은 고등학교 때 배우는 내용은 아니라서요.ㅎㅎ 책이 쉽기 때문에 고등학생이면 충분히 읽을 수 있을 듯 합니다. 중간에 순간 변화율이나 사잇값정..

정적분 넓이 공식 (이차함수 근, 삼차함수 중근) 오늘은 굉장히 자주 사용되지만, 증명하기에 너무 오래 걸리기 때문에 반드시 외워야하는 적분 넓이 공식 두 가지를 살펴보려고 합니다. 첫번째는 가장 일반적으로 쓰이는 이차함수 넓이공식입니다. 1. 이차함수의 넓이 공식 이차함수와 축, 이차함수와 직선, 두 이차함수로 둘러싸인 부분의 넓이도 동일하게 구하시면 됩니다. 증명은 아래와 같이 직접 하시면 됩니다. 음.. 보면 아시겠지만, 이걸 매번 직접 계산한다면 매우 힘들겠죠? 게다가 두 근이 정수가 아니라 분수나 무리수가 나온다면 더 계산이 복잡해질테니, 되도록이면 공식을 외워서 쓰도록 합시다. 이건 대상이 최고차가 이차인 다항함수 사이에서는 항상 쓸 수 있는 방법이에요. 그럼 예시 문제를 몇 개 풀어볼까요? ..

오늘은 표본평균에 관한 개념과 확률 직접 구하는 법을 좀 다뤄볼까 합니다. 왜냐면 이 부분을 가르치다보면 다들 이해는 완벽하게 못한 채 공식만 기계적으로 외워서 푸는 것 같은 느낌이 들기 때문이랄까요..? 가끔 표본평균의 확률을 직접 구하는 문제가 나오면 아에 해석을 못하는 경우도 종종 보이고.. 그래서 작성합니다! 표본평균은 뽑은 표본의 평균입니다. 즉 n개의 표본을 추출했다고 하면 아래와 같죠. 이렇게만 설명하면 별로 와닿지 않을테니, 직접 문제를 풀면서 한 번 이해해보도록 하죠! 상자에 숫자 1,3,5,7,9가 하나씩 적힌 다섯 장의 카드가 들어있다고 합시다. 크기가 5인 이 모집단에서 한 장의 카드를 임의추출할 때, 카드에 적힌 숫자를 확률변수 X라고 하면 X의 확률분포는 다음과 같습니다. 이걸 ..

우함수와 기함수를 곱하면? 기함수에 우함수를 합성하면? 이런 것 궁금하셨던 분들 주목! 오늘은 수학(하)와 수학2에서 나오는 우함수와 기함수에 대해 정리를 해보도록 하겠습니다. 사실은 수학(하)의 함수파트에서 배울 수도 있고, 안 배울수도 있어요. 교육과정에 필수 포함된 내용은 아니거든요. 근데 수학2에서는 꼭 나옵니다. 그리고 수학2에서도 이게 본 내용은 아니에요. 그래서 수학(하)에서 배우지 않았더라면 알아서 학습해야하는(?) 부분입니다. 조금 억울할 수는 있겠지만.. 뭐.. 네.. 그냥 공부 열심히 합시다. 우선 우함수는 y축 대칭인 함수입니다. f(-x)=f(x)로 표현이 되죠. 기함수는 원점 대칭인 함수입니다. g(-x)=-g(x)로 쓸 수 있어요. 일반적으로 증명은 주어진 함수에 x 대신 -x..