한량 지아이의 수학 LIFE

오늘은 알아두면 매우 강력한 내용을 배워볼까 합니다. 보통은 원의 방정식에서 가장 학습하기 어려워 하는 부분이 접선의 방정식입니다. 이 중에서도 극선에 관한 내용을 살펴볼거에요. 극선이 뭔가요? 원 밖의 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개입니다. 그러니 접점도 항상 2개죠. 이 두 접점을 이은 직선을 극선이라고 합니다. 그러니까 l이 극선인 거죠! 극선의 방정식 구하는 법 * 아래의 모든 증명을 가시성을 높이기 위해 일부러 좌표를 서로 다른 문자로 썼습니다. 일반적인 교재에서는 해당 점을 모두 (x1, y1), (x2, y2)와 같이 표기하고 있으니 염두하고 보세요. (a,b)에서 원에 그은 두 접선을 l1, l2라고 합시다. 원 위의 점에서 그은 직선의 방정식은 쉽게 구할 수 있으므로 l1과 l2를 각..

매년 학생들이 생기부에 쓸 수학책을 추천해달라고 요청해옵니다. 보통은 아이의 수준과, 학년과 배우는 것에 맞게 생기부 쓰는 것 까지 고려하면서 추천해주는 편인데, 오늘 포스팅 할 이 책은 그냥 진짜 재밌어서 읽어보라고 제가 기꺼이 빌려주는 책이에요. 바로 야밤의 공대생 만화입니다. 문과생들조차 모두가 재밌었다며 좋아하는 책이죠. 아마 페이스북에 짤이 많이 돌아다녀서 에피소드 몇 개는 이미 보신 분들도 꽤 계실 듯 합니다.ㅎㅎ 추천학년 딱히 없습니다. 진짜 만화거든요. 다 즐겁게 볼 수 있어요.ㅋㅋ 음.. 그래도 고등학교 이상이면, 아는 과학자라거나 이름이라도 들어본 이론들이 나와서, 더 재밌게 볼 수 있지 않나 싶습니다. 수학이나 과학에 관심있는 중학생도 충분히 재밌게 볼 것 같긴 해요.ㅎㅎ 추천이유 그..

오늘의 수학책은 정말 쉬운 미분책입니다. 사실은 미분 자체가 고등학교 때 배우는 수학 중 가장 중요한 단원이고, 응용이 많이 되다보니, 학생들이 느끼는 체감 난이도 자체는 어렵죠. 그렇지만, 개념을 정확하게 알고 있다면 정말 재밌는 게 미분입니다. 이 책은 미분에서 가장 핵심적인 개념만 쉬운 비유로 설명해 둔 책이에요. 복잡한 수식은 최대한 지양하고, 이야기 책 읽는 것처럼 가볍게 볼 수 있습니다. 음.. 뭐랄까 수학귀신? 이런 수학 동화 좋아하시는 분들이라면 재밌어 하지 않을까-하는 생각이 들면서도 이게 또 판타지는 아닌지라ㅎㅎ 뭔가 유튜브에서 접하기 좋은 컨텐츠 같단 생각도 들고요. 추천학년 제가 보통 교과과정 언급하면서 추천학년을 구체적으로 써놓는 편인데, 이 책은 설명 자체가 쉽다보니 학년은 별로..

이런 궁금증 다들 한 번쯤은 가져보셨죠? 저도 수학 강사로서 학생들에게 여러 답변들을 해주었었는데, 책을 읽다 상당히 공감이 되는 부분이 나와서 정보 공유차 포스팅합니다. 아래는 댄 히스, 칩 히스의 Stick! 이라는 책에 실려있는 내용입니다. 머리속에서 잘 붙는 메세지를 연구하시는 분들이 쓰신 책이라 그런지, 어지간한 수학 블로그에 써진, 수학을 배우는 이유보다 훨씬 이해하기 쉽게 설명되어 있어요. 세상의 모든 수학 교사들은 학생들로부터 두 가지 질문을 받는다. "왜 이런 게 필요하죠?" "이걸 도대체 어디다가 써먹죠?" 이번 클리닉에서는 그 질문에 대답하는 세 가지 방법에 대해 살펴보자. 1993년에 열린 '모두를 위한 대수학'이라는 컨퍼런스에서 "어째서 대수를 공부해야 하는가?"라는 질문에 대해 ..

신사고, 미래엔, 비상, 지학사, 교학사 교과서 5종을 싹 털어서 수학적 귀납법 문제를 모아 왔습니다! 기말고사 서술형에 단골로 출제되는 문항이기에, 통째로 증명하는 걸 연습해보도록 해요. 등식, 부등식, 배수판정으로 전체를 유형별 분류했고, 순서는 많은 교과서에 실린순으로 실어두었어요. 1. 등식 가장 기본적인 유형입니다. n=k일 때를 가정하고, n=k+1일 때도 성립하게끔 중간과정을 유도해주시면 되죠. 문제1 (교학사, 미래엔, 비상, 신사고, 지학사) 문제2 (교학사, 미래엔, 비상, 지학사) 문제3 (미래엔, 비상, 신사고, 지학사) 문제4 (교학사, 미래엔, 비상, 지학사) 문제5 (교학사, 비상, 지학사) 문제6 (미래엔, 신사고) 문제7 (미래엔) 문제8 (신사고) 문제9 (신사고) 2. ..

오늘은 삼차방정식에서 f(ax+b)=0꼴의 근에 대한 여러 문제를 좀 풀어볼까 합니다. 우선 아래 관계식을 한 번 살펴봅시다. 증명자체는 간단합니다. 애초에 방정식의 '근'이라는 것이 식을 참으로 만드는 x의 값이니까요. 즉 f(x)=0의 세 근이 α,β,γ라면 식의 x자리에 α,β,γ를 넣었을 때 성립한다는 뜻이죠. 여기서 f(cx-d)=0의 근을 한 번 추론해봅시다. f라는 식은 (괄호)안에 α,β,γ가 들어가면 0이 나오는 식입니다. 그렇다면 (괄호)안에 들어있는 (cx-d)라는 식이 α,β,γ가 되면 참이 되겠죠? 이걸 그대로 정리만 해주면 됩니다. 방정식에서 '근'을 물어본다는 건, 결국 x가 뭐냐고 묻는 것이니까, x라는 문자에 관해 정리해주면 되는 것이죠. 간단하죠? 사실 이 부분은 이차방정..

이전에 이차방정식을 배우면서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배웠던 것 기억 나시나요? 근이 역수거나, 음수인 경우에는 금방 구할 수 있었죠. 만약 기억이 안 나신다면 아래 포스팅을 꼭꼭 복습해주시구요..! https://ladyang86.tistory.com/45 [이차방정식 꿀팁] 역수를 근으로 갖는 방정식 빨리 구하는 방법 오늘은 이차방정식에서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배워보도록 할게요. 원래는 근과 계수와의 관계를 이용하여 합과, 곱을 구하고 식을 직접 구성하면 됩니다. 그렇지만, 객관식인 경 ladyang86.tistory.com 오늘은 이걸 확장해서 삼차방정식인 경우에도 구해볼 거에요. 객관식인 경우에는 아래와 같이 바로 구하시면 됩니다. 삼차방정식은 최고차계수에 따라 그냥 ..

시험은 지금껏 공부했던 것들을 피드백 할 수 있는 좋은 기회입니다. 그런데 만약 열심히 준비했는데도, 만족하지 못한 결과가 나왔다면, 시험 끝나고 이유가 뭔지 꼼꼼하게 분석을 해야 합니다. 열심히 준비했는데 못봤다. 근데 왜인지 이유는 모른다? 그럼 다음에는 어째서 잘 볼거라고 생각하는 거죠? 뭐, 그래서 제가 운영하는 공부방에서는 시험이 끝난 이후 반드시 시험지 복원을 합니다. 시험 망쳤다고 시험지 버리지 말라고요- 시험지 복원이란? 시험 시간에 문제를 어떻게 풀었는지 상세하게 복기하는 것입니다. 이 때는 1. 맞은 문제도 복기합니다. 2. 선다형에서는 어떤 근거로 풀었는지 번호별로 상세하게 적습니다. 3. 혹시나 시간이 모자랐거나 찍은 문제는 못 푼 이유를 쓴 다음, 옆에다 다시 풀어봅니다. 오답만 ..

오늘은 계수가 대칭인 사차방정식을 풀어볼게요. 일반적으로 사차방정식을 풀 때는 삼차방정식과 동일하게 이차식까지 최대한 인수분해하여 풀면 됩니다. 그런데 말입니다- 고1때 나오는 대부분의 삼차방정식은 조립제법을 사용하면 다 풀리는데, 사차는 조립제법을 사용 못하는 경우도 있어요. 이유는 오늘의 포스팅을 보시면 이해가 되게끔 아래에서 설명해 놓았습니다.! 우선은 계수가 대칭인 사차방정식을 푸는 일반적인 방법을 설명해볼게요! 알고리즘대로 차근히 따라서 푸시면 됩니다. 자, 아래 문제를 직접 풀어볼까요? 문제1 쌤, 그냥 조립제법 쓰면 안돼요? 이런 생각이 들 수 있죠. 실제로 위의 방정식은 아래와 같이 조립제법으로 손쉽게 풀립니다. 뭐.. 위처럼 인수가 바로 보인다면, 조립제법으로 바로 푸시면 됩니다.! 인수..

시험 1번에 주로 나오는 개념을 정리하고 가봅시다! 수체계의 포함관계 중1때 유리수까지 배우죠. 중3때는 여기에 무리수를 더하여, 실수체계까지 배웁니다. 고등학교 진학 후에도 계속 나오니, 이 참에 정리해보고 가죠. 실수는 유리수 or 무리수입니다. 실수는 반드시 둘 중 하나에는 해당됩니다. 1. 실수는 유리수 + 무리수. 2. 유리수이면서 무리수인 수는 없고, 유리수도 무리수도 아닌 수 역시 없습니다. 무조건 둘 중 하나에요. 그리고 수의 표현방법으로 따지자면 유한소수 or 무한소수인데, 무한소수 중 순환소수는 유리수고 나머지는 모두 무리수입니다. 즉 무리수 = 순환하지 않는 무한소수죠. 정수나 자연수는 모두 유리수 안에 들어갑니다. 유리수나 무리수의 특성에 대해 묻는 문제. 특히 중2때 유리수를 많이..