한량 지아이의 수학 LIFE

오늘은 시험 때 시간을 매우 단축시켜주는 꿀팁을 배워 볼 예정입니다. 교란순열(완전순열)이란? 교란순열 : Derangement 완전순열 : Complete permutation 혹은 서브 팩토리얼로 불립니다. Derangement 에서 D를 따와서, n개짜리 교란순열을 Dn이라고 씁니다. 정의 n개의 원소가 모두 자기 자신이 아닌 값으로 배정되는 순열 (모든 원소의 위치를 바꾸는 순열) 말이 좀 어렵죠? 아래 예제를 통해서 이해해봅시다. 아마 꼭 한 번씩은 보셨을 거에요:-) 예제1 학생을 An이라 하고 각자의 시험지를 an이라 합시다. 시험지를 바꿔서 채점한다고 할 때, 자신의 시험지는 자신이 채점하지 않을 때, 채점하는 방법의 수가 Dn입니다. 예제2 X={1,2,3,...,n} f : X->X로의..

굉장히 유형화 되어 있지만 이해가 잘 안 가는 문제들이 몇개 있죠. 오늘은 경우의 수에서, 동전/혹은 지폐를 세는 문제를 좀 다뤄볼까 합니다. 간단하게 예제 하나만 다루면서 설명 해볼게요. 문제 100원짜리 동전 1개, 50원짜리 동전 3개, 10원짜리 동전 2개가 있다. 이 동전의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 방법의 수를 a, 지불할 수 있는 금액의 수를 b라 할 때, a-b의 값은? (단, 0원을 지불하는 경우는 제외한다.) 1. 지불 할 수 있는 방법 어떤 동전을 몇 개 사용하느냐? 이게 포인트입니다. 같은 백원을 지불하더라도, 100원짜리 동전을 하나 쓰는 거랑, 50원짜리 동전을 두 개 쓰는 건 다르니까요. 이 부분은 양의 약수의 개수 세는 방법과 거의 같습니다. 100원/50원/..

오늘은 함수의 극한 중 초반 학습이 가장 어려운 합성함수 극한값을 살펴볼 예정입니다. 오늘 살펴볼 함수는 아래 f(x), g(x) 두 개입니다. 살펴볼 극한은 아래 3가지입니다. 극한이 존재하지 않는 경우는 없으니, 함정 없이 마음껏 풀어보세요. 그럼 하나씩 살펴볼까요? f에서 0의 우극한의 경우에는 1로 가까이 가는 값이 아니라, 계속 1이 나오므로, 합성할 때 극한이 아니라 함숫값으로 나옵니다. 여기에 유의하셔야해요.! 마지막 문제입니다. 괄호 안에 극한이 있는 경우에는, 그냥 극한값을 계산하여 함숫값으로 대입하시면 됩니다. 합성함수의 극한은 치환해서 보시면 편합니다. 나중에 빨라지면 그래프 보고 눈으로도 바로 찾을 수 있긴 한데, 그건 연습이 좀 많이 필요하죠. 다음에 또 다양한 문제 들고 올게요!

중학교 1학년때 배운 약수의 개수 문제가 고등학교에서도 그대로 나옵니다. 다만, 총합이나 총곱 등 조금 더 다루는 내용이 많아지죠. 여러개 찾아볼 필요 없이, 오늘은 이 내용을 총정리 해드리겠습니다! 일단 약수는 양의 정수(자연수)만 대상으로 셀 겁니다. 사실 범위를 정해놓지 않으면 무한개라 셀 수가 없습니다. 음, 간단하게 살펴볼까요? 그래서 이를 만족하는 자연수들을 대상으로 약수와 배수를 판정합니다. 그런데 만약 m,n이 자연수가 아니라면? 음수나 분수라면? 사실 더 나아가서 유리수, 무리수도 모두 약수로 가능합니다. 그나마 음의 '정수'까지는 셀 수 있더라도, 이를 넘어가면 개수를 셀 수 없죠. 뭐.. 이 부분은 대학교 과정이므로 더 이상 다루지는 않고 넘어갈게요. 본격적으로 약수를 세러 가봅시다!..

절대부등식의 대표적인 예로 산술기하평균을 이용한 부등식을 배웁니다. 이때, 두 식의 차를 이용하여 증명하는 것이 가장 일반적이지만, 기하적인 방법으로도 증명할 수 있습니다. 산술기하 부등식의 조건이 변수가 모두 양수일 때이므로, 도형에서 변의 길이로 생각하면, 직관적으로 이해가 됩니다. 산술기하 부등식 증명 첫번째 위 그림과 같이 중심이 O이고, AB를 지름으로 하는 반원을 봅시다. 호 위의 한 점 C를 잡아 수선의 발을 내려줍니다. 양끝으로부터의 길이 중 짧은 것을 a 긴 부분을 b라고 두겠습니다. 그림에서 보면 아시겠지만, 당연히 DO가 CM보다 깁니다. 언제 같을까요? a=b일때 성립하겠죠. DO는 원의 반지름이므로 산술평균이고, CM은 직각삼각형의 높이이므로 기하평균이 나옵니다. (혹시 이 부분이..

수학2에서 함수의 극한을 배운 다음에는, 함수의 연속과 불연속을 배웁니다. 먼저는 한 점에서의 연속을 배우고, 구간에서의 연속을 배우죠. 그리고 주로 문제를 풀 때는 불연속 점의 개수가 유한개인 다룹니다. 아래처럼요. 그래서 이번엔, 불연속 점의 개수가 무한개인 함수를 다뤄볼까 합니다. 좀 더 나아가서 모든 점에서 불연속인 함수를 알아볼거에요. x=a로 다가가는 극한값 현 고등학교 교육과정은 x가 a로 다가갈 때, 왼쪽/오른쪽으로 좌/우만 관찰합니다. 이를 좌극한/우극한이라고 다루죠. x=a에서 연속일 때 아래 명제가 성립합니다. 조금 더 자세히 보자면, 즉 리미트 기호가 함숫값 안쪽에 들어갈 수 있단 말이죠. 여기서 괄호 안쪽을 볼 겁니다. a로 다가가는 극한값은 사실 다양한 방식을 쓸 수 있습니다. ..

문자가 2개인데 식이 1개 뿐인 경우에는 해가 무수히 많이 나옵니다. 예를 들어 2x-y=0의 해는 (1,2), (2,4) ..., (10,20)... 등 무수히 많죠. 부정방정식이란? 일반적으로 문자의 개수보다 식의 개수가 더 적을 때는 위처럼 해가 무수히 많이 나옵니다. 이런 방정식을 부정방정식이라고 부릅니다. 부정이 한자로 아닐 부(不) + 정할 정(定)자를 써요. 해가 무수히 많이 나오기 때문에 하나로 정할 수 없는 방정식인 거죠. 그런데 이러한 부정방정식에도 특수한 조건이 붙으면 해를 유한개 구할 수 있습니다. 오늘은 그 중 '정수 조건'이 붙어 있는 부정방정식을 풀어볼 거에요. 강제로 인수분해하기 사실은 공통인수로 묶어서 더하고 빼준다는 개념인데, 상수를 제외하고 나머지 문자가 나오게끔 처음부..

중학교 2학년때부터 거의 암기해야 하는 공식이 있습니다. 고3 때까지 지속적으로 계속 나오기 때문에 까먹었다면 계속 복습하셔야 해요. 그래서 사실상 고등학생을 위한 중학교 도형 리마인드입니다. 한 번 살펴볼까요? 직각 삼각형에서 수선의 발을 내린 모양을 보면, 아래에 적어둔 공식 3가지가 모두 떠오르셔야 합니다. 하나씩 따로 떼서 보자면 총 7가지의 식인거죠. 하나씩 살펴봅시다. 1. 넓이 공식 = 소공식 (중1) 직각삼각형의 소공식 들어보셨나요? 넓이에서부터 나온 식입니다. (사실 이게 정식 명칭은 아니에요) 직각삼각형이므로, 밑변과 높이를 곱해서 넓이를 구할 수 있습니다. 여기서는 ab와 ch가 밑변x높이로 서로 같은 거죠. 그러니 ab=hc인거죠. 이제 외우는 방법을 살펴봅시다. '소'공식에서 '소..

오늘은 기말고사에 종종 나오는 삼각비 문제 중, 특수각이 아닌 경우에 대해서 다뤄봅시다. 오늘은 공식을 2개 외울거에요. 딱 이번 시험에서만 쓰이는 공식이고, 객관식 문제를 대비하기 위함이니 그냥 가볍게 외우고 가줍시다.^^ 객관식만 다루는 이유? 사실 서술형만되도 굳이 이걸 외울 필요는 전혀 없습니다. 그냥 유도해서 쓸 수 있거든요. 보통은 특수각이 아닌 경우에는 sin55'와 같은 각의 근삿값을 주기 때문에, 굳이 문자로 나타낼 필요가 없기도 하구요. 그렇지만 객관식의 경우에는 보기 하나씩 유도하는데 시간도 오래 걸리고, 굳이 다른 유형은 물어보지 않으므로, 그냥 시험 직전에 이 포스팅 한 번 쭉-보고 공식 2개 외워가면 되겠습니다! 뭐.. 개인적으로 시험 출제 빈도 자체는 둔각이 조금 더 높은 것 ..

이전에 중복조합의 다양한 예시에서 배웠던 것들 기억하시죠?여기서 가장 중요하게 다루었던 부분이 부정방정식의 정수해입니다. 오늘은 이 부분을 좀 더 자세하게 살펴볼 거에요. https://ladyang86.tistory.com/27?category=791745 [중복조합] 대표 예제 5개와 함께 이해하며 외우기오늘은 순열과 조합에서 가장 중요한 중복 조합에 대해 살펴봅시다. 정의 : 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 선택하는 경우 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 이 때 n은 자연수, r은 0과ladyang86.tistory.com부정방정식의 정수해 문제는 해당 문자가 ‘음이 아닌 정수해’인 경우에만 H로 바꿀 수 있습니다.  즉, 자연수, 짝수 등 다른 조건이 붙으면 H로 바꿀 수 없기 때문에 ..