한량 지아이의 수학 LIFE

3-1학기 때 잠깐 배우지만 3-2학기부터 고3때까지 꾸준히 나오는 내용이 있습니다. 바로 오늘 배울 근호 안의 제곱을 절댓값으로 바꾸는 내용이죠. 이 내용은 이해하는 건 어렵지 않은데, 손에 익어서 문제를 풀기까지 연습이 많이 필요합니다. 그렇지만 계속 나오는 내용이니 한 번 제대로 익히고 가도록 해요! 사실 증명은 간단합니다. 근호안에 제곱으로 들어있는 수나 절댓값이나 둘 다 0보다 크거나 같으면 그냥 나오고 음수인 경우에는 -가 붙어 나오죠. 그래서 문제를 풀 때도 이렇게 절댓값으로 푸시면 됩니다. 처음 문제지에서 접할 때는, 숫자 위주로 식이 나오기 때문에 암산으로도 충분히 풀 수 있지만, 학년이 올라갈수록 근호 안이 복잡한 식으로 나오기 때문에 지금 제대로 풀고 가시는 게 좋습니다. 지금부터는 ..

오늘은 미분계수 중, h가 나오는 형태의 공식을 정리해보았습니다. 우선은 그 전에 미분계수에 대한 기본 형태부터 복습해봐요! 순간변화율은 평균변화율의 극한입니다. 그러니 평균변화율에 lim를 붙여서 점을 점점 (a,f(a))로 보내면 됩니다. 그러면 극한값은 a에서의 접선의 기울기가 되겠죠? h가 0으로 갈 때 f(a+h)-f(a)/h = f'(a)가 되는 것은 모양 자체를 암기해주셔야 합니다. 아래와 같이 a의 자리에 다양한 숫자가 들어가도 아- 이게 '미분 계수구나'하고 보일때 까지요. :-) 숫자는 크게 어렵지 않죠? 가끔 0의 경우에는 0을 생략해서 쓰기도 하기 때문에, 당황하지 마시고 아래와 같이 푸시면 됩니다. 그럼 본격적으로 미분계수 공식을 외워봅시다. 사실 도함수 공식을 이용하여 직접 유도..

오늘은 위치에 따라 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수에 대해 정리해봅시다. 삼차함수의 접선의 개수는 교육과정에 있는 내용은 아닙니다. 그렇지만, 모의고사 등에 꾸준히 나오고, 내신에서 이 내용을 아느냐/모르느냐에 따라 시간 차이가 많이 나기 때문에 꼭 알아두는게 좋습니다. 접선의 개수를 구할 때는, 삼차함수의 그래프와 변곡점에서의 접선 이 두 가지는 경계로 그려놓고 판단하시면 됩니다. 변곡점이란? 변곡점이라는 용어 자체가 미적분에서 나와서 문과 학생들에게는 좀 생소한 용어죠. 간단하게 설명하자면, 그래프의 오목/볼록이 바뀌는 점입니다. 위로 볼록인 상태에서 아래로 볼록인 상태로 변하거나, 아래로 볼록인 상태에서 위로 볼록인 상태로 변하는 점이죠. 구하는 방법은 삼차함수에서는 두 번 미분해서 0되는 점..

집합안에 집합이 들어가 있는 집합 본 적 있죠? 예를들면 이런거요. 집합기호⊂와, 원소기호∈를 배운다음 A={Ø,{Ø},0}일 때, Ø⊂A Ø∈A {Ø}∈A 이런 거 헷갈리셨다면 오늘 주목! 이런 문제를 유형 쭉-할거니까 자신없는 친구들은 끝까지 포스팅 보도록 해요! 오늘은 집합의 정의와 집합을 원소로 갖는 집합에 대해 배워볼거에요. 집합의 정의 집합이란 '어떤 조건에 의하여 그 대상을 명확하게 구분할 수 있는 것들의 모임'입니다. 객관적인 조건들을 만족시키는 대상들의 모임이죠. 객관적이다라는 게 '누가 봐도 이견이 없는-' 이라고 보면 됩니다. 그러니까 '키가 큰 사람들의 모임' 이런 건 집합이 될 수 없습니다. 왜 일까요? 180cm인 사람은 이 집합에 들어갈 수 있을까요? 초등학생들 사이에서 180..

중2때 정오각형의 일부분을 떼서 닮음인 걸 배우죠. 중3때 황금비 배우는 것과 연결시킬 수 있습니다. 오늘은 그 부분을 총정리 해볼까 해요. 황금비의 정의 길이 a+b인 선분을 길이가 a,b인 두 선분으로 나누었을 때, 선분의 길이비가 전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변 즉, (a+b):a = a:b를 만족하면 이 선분은 황금비 Φ=a/b로 분할되었다고 하고, 이 분할을 황금분할이라고 합니다. 그러니까 그림으로 그려서 살펴보자면, 전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변 (우측) 여기서 길이 비를 말하는 것이므로 b를 1로 두고 식을 세울수도 있죠. (좌측) 자 다시 정리해볼게요. 선분의 길이비가 전체 : 긴변 = 긴변 : 짧은변이면 이제부터 정오각형을 살펴보죠! 정오각형의 한 변 길이와 대각선 길이는 황금비를 ..

오늘은 기말고사 시험 대비로, 그래프 개형에 따른 이차함수 부호를 정리해볼까 합니다. 1. 일반형에서 a,b,c 정하는 법 아래와 같은 이차함수의 일반형에서 각 계수 a,b,c의 의미를 알아봅시다. ① a : 위/아래로 볼록을 결정 ② b : 축의 위치를 결정 그냥 왼쪽부터 '같다'라고 외우시면 됩니다. ③ c : y 절편을 결정 y축과의 교점의 y좌표를 보고 결정하시면 됩니다. x축 위에 있으면 0 x축 아래에 있으면 음수 x축 위에 있으면 양수죠 그럼 문제를 한 번 풀어볼까요? 문제1 아래와 같은 이차함수에서 a,b,c의 부호를 구하여라. 문제2 아래와 같은 이차함수에서 a,b,c의 부호를 구하여라. 2. 표준형에서 a, p, q 정하는 방법 이 경우는 간단하게 꼭짓점의 부호를 보면 됩니다. 바로 문..

오늘은 알아두면 매우 강력한 내용을 배워볼까 합니다. 보통은 원의 방정식에서 가장 학습하기 어려워 하는 부분이 접선의 방정식입니다. 이 중에서도 극선에 관한 내용을 살펴볼거에요. 극선이 뭔가요? 원 밖의 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개입니다. 그러니 접점도 항상 2개죠. 이 두 접점을 이은 직선을 극선이라고 합니다. 그러니까 l이 극선인 거죠! 극선의 방정식 구하는 법 * 아래의 모든 증명을 가시성을 높이기 위해 일부러 좌표를 서로 다른 문자로 썼습니다. 일반적인 교재에서는 해당 점을 모두 (x1, y1), (x2, y2)와 같이 표기하고 있으니 염두하고 보세요. (a,b)에서 원에 그은 두 접선을 l1, l2라고 합시다. 원 위의 점에서 그은 직선의 방정식은 쉽게 구할 수 있으므로 l1과 l2를 각..

매년 학생들이 생기부에 쓸 수학책을 추천해달라고 요청해옵니다. 보통은 아이의 수준과, 학년과 배우는 것에 맞게 생기부 쓰는 것 까지 고려하면서 추천해주는 편인데, 오늘 포스팅 할 이 책은 그냥 진짜 재밌어서 읽어보라고 제가 기꺼이 빌려주는 책이에요. 바로 야밤의 공대생 만화입니다. 문과생들조차 모두가 재밌었다며 좋아하는 책이죠. 아마 페이스북에 짤이 많이 돌아다녀서 에피소드 몇 개는 이미 보신 분들도 꽤 계실 듯 합니다.ㅎㅎ 추천학년 딱히 없습니다. 진짜 만화거든요. 다 즐겁게 볼 수 있어요.ㅋㅋ 음.. 그래도 고등학교 이상이면, 아는 과학자라거나 이름이라도 들어본 이론들이 나와서, 더 재밌게 볼 수 있지 않나 싶습니다. 수학이나 과학에 관심있는 중학생도 충분히 재밌게 볼 것 같긴 해요.ㅎㅎ 추천이유 그..

오늘의 수학책은 정말 쉬운 미분책입니다. 사실은 미분 자체가 고등학교 때 배우는 수학 중 가장 중요한 단원이고, 응용이 많이 되다보니, 학생들이 느끼는 체감 난이도 자체는 어렵죠. 그렇지만, 개념을 정확하게 알고 있다면 정말 재밌는 게 미분입니다. 이 책은 미분에서 가장 핵심적인 개념만 쉬운 비유로 설명해 둔 책이에요. 복잡한 수식은 최대한 지양하고, 이야기 책 읽는 것처럼 가볍게 볼 수 있습니다. 음.. 뭐랄까 수학귀신? 이런 수학 동화 좋아하시는 분들이라면 재밌어 하지 않을까-하는 생각이 들면서도 이게 또 판타지는 아닌지라ㅎㅎ 뭔가 유튜브에서 접하기 좋은 컨텐츠 같단 생각도 들고요. 추천학년 제가 보통 교과과정 언급하면서 추천학년을 구체적으로 써놓는 편인데, 이 책은 설명 자체가 쉽다보니 학년은 별로..

이런 궁금증 다들 한 번쯤은 가져보셨죠? 저도 수학 강사로서 학생들에게 여러 답변들을 해주었었는데, 책을 읽다 상당히 공감이 되는 부분이 나와서 정보 공유차 포스팅합니다. 아래는 댄 히스, 칩 히스의 Stick! 이라는 책에 실려있는 내용입니다. 머리속에서 잘 붙는 메세지를 연구하시는 분들이 쓰신 책이라 그런지, 어지간한 수학 블로그에 써진, 수학을 배우는 이유보다 훨씬 이해하기 쉽게 설명되어 있어요. 세상의 모든 수학 교사들은 학생들로부터 두 가지 질문을 받는다. "왜 이런 게 필요하죠?" "이걸 도대체 어디다가 써먹죠?" 이번 클리닉에서는 그 질문에 대답하는 세 가지 방법에 대해 살펴보자. 1993년에 열린 '모두를 위한 대수학'이라는 컨퍼런스에서 "어째서 대수를 공부해야 하는가?"라는 질문에 대해 ..