한량 지아이의 수학 LIFE

수학(하)에서 유리함수 배울 때, 유리식을 추가로 배우셨다면 그 때 나오는 내용이고 아니라면 수학1 수열의 합에서 정식으로 다루게 됩니다. 부분 분수란? 어떤 분수의 분모를 n이라 할 때, 분모가 n의 약수인 분수들의 합이나 차로 나타내는 것을 부분분수 분해 또는 부분분수 전개라고 합니다. 예컨대 분모가 큰 수를 좀 더 가볍게 만들기 위한 방법이랄까요? 고등학교에서는 부분 분수가 수1 수열의 합, 미적분 적분 단원에서 나온답니다. 우리는 간단한 부분분수 분해 정도만 해볼거에요. 식은 아래와 같습니다. 우변을 통분 해서 정리해보시면 두 식이 같다는 걸 쉽게 알 수 있습니다. 중요한 건 실제로 공식을 외워서 문제를 푸는 데 있죠. 간단한 연습 한 번 해볼까요? 분수 꼴로 나타낸 수열의 합 이제부터는 실제로 ..

오늘은 복잡한 식의 인수분해 중, 문자가 3개 나오는 유형을 연습해 보겠습니다. 우선은 복잡한 식의 인수분해를 어떻게 풀어야 하는지 알고리즘부터 살펴봅시다. 복잡한 식의 인수분해 항의 개수가 5개가 넘어가거나, 주어진 문자가 2개 이상인 경우 사용합니다. ① 가장 낮은 차수의 문자로 내림차순 정렬합니다. (같으면 아무거나-) ② 상수항 부분을(①에서 정렬한 문자 기준) 먼저 인수분해합니다. ③ 전체 인수분해를 합니다. 아무래도 등장하는 문자가 많으면 힘들긴 하죠. 예제에서는 주로 a, b, c 세 문자로 통일하여 풀어보았답니다. 같이 풀면서 익혀봅시다.! 예제 1 a, b, c가 삼각형의 세 변일 때 아래 식을 만족하는 삼각형은 어떤 삼각형인가? a³+a²b-ac²+ab²+b³-bc²=0 예제 2 다음 ..

오늘은 삼각함수의 각 변환을 모두 정리해보도록 할게요. 증명은 그래프를 이용하기 보다는, 삼각함수의 정의를 이용해서 해볼 예정입니다. 그래프를 이용한 증명은 다음번에 한 번 해보도록 할게요. 삼각함수의 정의 중심이 원점이고, 반지름이 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여 동경 OP가 나타내는 각을 θ라 합시다. θ에 대한 함수를 차례대로 sinθ=y/r cosθ=x/r tanθ=y/x라고 정의합니다. 이제 다른 사분면에서 각이 변할 때마다 P(x,y)가 어떻게 변하는지 관찰해 볼게요. 0. 2nπ+θ는 θ와 같으므로 그대로 씁니다. 1. -θ는 θ와 동경의 y좌표 부호가 다릅니다. 그래서 삼각함수를 구해보면 cos 함수는 영향이 없고 나머지 두 함수는 부호가 바뀌게 되죠. 이번엔 π-θ, π+θ도 같..

복소수에서 순허수 조건이나 실수조건 간단하게 정리해봅시다. 복소수 z= a+bi (a, b는 실수, i는 √(-1)) z가 실수 ⇔ b=0 z가 순허수 ⇔ a=0, b≠0인 건 복소수를 맨 처음 정의하면서 배우죠. 특히나 순허수의 경우 제곱하면 음수가 나오기 때문에 이를 활용한 문제가 종종 나온답니다. 예제를 통해 가볍게 문제를 풀어봅시다. z가 벌써 전개하면 항이 6개가 나오는데 이걸 제곱해서 실수부분/허수부분으로 나누려는 생각은 no! z가 순허수라면 제곱해서 음의 실수가 되므로 z만 가볍게 정리해줍니다. 문제에서 n은 자연수라고 했으므로 정답은 7만 가능합니다. 문제 1 항의 개수를 보세요. z를 직접 제곱하는 건 지양하는 게 좋겠죠? 간단하게 리마인드 해보면, z의 제곱이 음의 실수가 되어야 하므..

서술형, 빈칸형으로 자주 출제되는 순열과 조합의 성질 한 번 정리해보고 가겠습니다. 아래 여섯 가지를 증명하실 수 있으면 오늘 포스팅은 그냥 넘어가셔도 됩니다. 아니라면 같이 연습해보시는 게 좋겠죠? ㅎㅎ 증명에서는 P, C둘 다 팩토리얼로 나타낸 식을 사용하면 됩니다. 순열의 성질, 공식 증명 써야 할 식의 변형이 잘 이해가 안된다면 옆에 숫자를 한 번 대입해서 적어보시면 이해가 쉬운 편이랍니다. 조합의 성질, 공식 증명 조합의 경우도 순열과 마찬가지로 팩토리얼 형태로 다 바꾸어 준 다음 통분해서 식을 증명하시면 됩니다. 통분할 때 양쪽에 모두 다 곱해줘야 하는 경우도 있으니 주의하시고요.! 위의 성질들은 조합에서 맨 위의 두 개 식을 제외하면 굳이 외워서 써야 하는 식은 아닙니다. 그래서 증명 정도만..

경우의 수 또는 확률에서는 배수 만들기 문제가 종종 나옵니다. 만약 배수의 특징을 모른다면 아래 포스팅 먼저 정독하고 오세요. https://ladyang86.tistory.com/57 배수 판정법 (초중고딩 모두 이해할 수 있음)경우의 수를 구하다보면 배수 판정법이 종종 쓰일 때가 있죠. 쉬운 편이니 금방 정리하고 넘어갑시다. 규칙이 비슷한 것들끼리 살펴보고 필요하다면 증명도 같이 해보도록 해요.^^ 끝자리 수로ladyang86.tistory.com 일반적으로 숫자를 만들 때, 2의 배수나 5의 배수처럼 끝자리만 맞춘다고 되는 게 아닌 유형이 바로 3의 배수 만들기입니다. 3의 배수의 경우에는 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 됩니다. 주어진 숫자가 적은 경우에는 숫자를..

수학1 수열의 합 기본 공식 (자연수의 거듭제곱의 합) 자연수의 거듭제곱의 합은 우리가 암기해서 쓰는 기본 공식이죠. 보통 아래 3개 정도는 다 외워서 씁니다. ①은 등차수열의 합으로 유도해서 풉니다. 나머지 둘은 어떻게 증명할까요? 보통 교과서에서는 아래와 같이 항등식을 이용하여 유도합니다. 납득은 가지만 별로 직관적으로 와닿지는 않죠. 그래서 다른 방법 두 가지 정도를 추가로 더 이용하여 공식이 성립함을 이해해볼까 합니다. 나무 블럭을 이용한 수열의 합 이해 나무 블럭 세 덩이를 쌓아 올려서 직육면체를 만들어 줍니다. 밑면은 n(n+1)이 되고 위로 튀어나온 나무 블럭은 반으로 갈라 반대쪽을 덮어주면 됩니다. 세 덩이 합쳐서 부피가 n(n+1)(n+1/2)이 되었으니 3으로 나누어서 정리해주면 되죠...

나는 문과라 도저히 미적분이랑 뭘 엮어야 할지 모르겠다고 고민되는 분이라면 오늘 포스팅 집중! 사회계열, 철학계열까지 충분히 커버가능한 주제를 갖고 왔답니다. 바로 접선에 개념 변화를 정반합의 과정과 엮어서 살펴볼까 합니다. 문과를 위한 수학탐구 추천주제 우선 라카토스의 수학관은 아래와 같습니다. 수학은 추측 - 증명 - 반박의 끊임없는 개선을 통해 성장하는 '준경험주의적 과학'이라는 것이죠. 라카토스의 지식의 성장 과정은 아래와 같습니다. 1) 수학적 추측 제기 2) 원래 추측을 부분추측으로 분해 3) 반례의 등장 & 추측과 증명을 반박 4) 추측과 증명을 개선 (이 부분은 좀 더 자세히 쓰자면 교육학 쪽에서 다루어야 하니 일단은 지양하죠.) ​ 헤겔의 변증법, 라카토스의 수학관 등 인문학쪽에서도 엮을..

내신 대비 하면서 문제를 풀다보니 은근 자료 찾기가 힘들어서 코시 슈바르츠 부등식 포스팅을 계속하게 되네요. 이게 내용상 엄청 중요해서 강조하려고 작성하는 것 보다, 교육과정에서 메인으로 다루는 내용은 아니다보니 오히려 알려주고 싶은데 모여있는 내용이 잘 없어서 쓰게 되는 것 같습니다. 그래서 더 이상은 포스팅 안했으면 좋겠다는 희망을 담아 항이 3개 이상인 코시 슈바르츠 부등식을 오늘 다뤄볼까 합니다. 혹시 아직 코시 슈바르츠 부등식이 익숙치 않으신 분들은 포스팅 하단에 링크 걸어두었으니 참고 하시기 바랍니다. 코시 슈바르츠 부등식 항이 3개일 때, n=2일 때는 이전에 증명했으니 이번에는 n=3일때를 증명해보겠습니다. 증명방법은 동일합니다. 차로 비교하면 되는데, 과정에서 완전 제곱식이 나오기 때문에..

명제 단원을 풀 때마다 수체계에 관한 질문들이 은근 들어와서 전체정리 해볼까 하다가 우선은 기호 유래만 간단하게 적어보는 포스팅입니다. 자연수 (N) : Natural numbers(영어) 자연에서 물건을 하나, 둘, 세면서 나온 수라 Natural numbers라고 불린다고 들었던 기억이 나네요. 정수 (Z) : 정수는 영어로는 Integer인데, 수 체계에서는 Z라고 씁니다. 독일어 Zahlen ('(수를)세다')에서 유래했다고 합니다. 유리수 (Q) : 유리수도 영어로는 Rational numbers인데, 기호는 Q라고 씁니다. 독일어 Quotient ('몫')에서는 그대로 쓰이고, 유리수의 정의 자체가 분수 꼴로 표현 가능한 수이므로 몫에서 갖고 왔단 말도 있네요. 사실 영어 앞글자 따면 실수(R..