한량 지아이의 수학 LIFE

오늘은 삼각함수의 각 변환을 모두 정리해보도록 할게요. 증명은 그래프를 이용하기 보다는, 삼각함수의 정의를 이용해서 해볼 예정입니다. 그래프를 이용한 증명은 다음번에 한 번 해보도록 할게요. 삼각함수의 정의 중심이 원점이고, 반지름이 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여 동경 OP가 나타내는 각을 θ라 합시다. θ에 대한 함수를 차례대로 sinθ=y/r cosθ=x/r tanθ=y/x라고 정의합니다. 이제 다른 사분면에서 각이 변할 때마다 P(x,y)가 어떻게 변하는지 관찰해 볼게요. 0. 2nπ+θ는 θ와 같으므로 그대로 씁니다. 1. -θ는 θ와 동경의 y좌표 부호가 다릅니다. 그래서 삼각함수를 구해보면 cos 함수는 영향이 없고 나머지 두 함수는 부호가 바뀌게 되죠. 이번엔 π-θ, π+θ도 같..

복소수에서 순허수 조건이나 실수조건 간단하게 정리해봅시다. 복소수 z= a+bi (a, b는 실수, i는 √(-1)) z가 실수 ⇔ b=0 z가 순허수 ⇔ a=0, b≠0인 건 복소수를 맨 처음 정의하면서 배우죠. 특히나 순허수의 경우 제곱하면 음수가 나오기 때문에 이를 활용한 문제가 종종 나온답니다. 예제를 통해 가볍게 문제를 풀어봅시다. z가 벌써 전개하면 항이 6개가 나오는데 이걸 제곱해서 실수부분/허수부분으로 나누려는 생각은 no! z가 순허수라면 제곱해서 음의 실수가 되므로 z만 가볍게 정리해줍니다. 문제에서 n은 자연수라고 했으므로 정답은 7만 가능합니다. 문제 1 항의 개수를 보세요. z를 직접 제곱하는 건 지양하는 게 좋겠죠? 간단하게 리마인드 해보면, z의 제곱이 음의 실수가 되어야 하므..

서술형, 빈칸형으로 자주 출제되는 순열과 조합의 성질 한 번 정리해보고 가겠습니다. 아래 여섯 가지를 증명하실 수 있으면 오늘 포스팅은 그냥 넘어가셔도 됩니다. 아니라면 같이 연습해보시는 게 좋겠죠? ㅎㅎ 증명에서는 P, C둘 다 팩토리얼로 나타낸 식을 사용하면 됩니다. 순열의 성질, 공식 증명 써야 할 식의 변형이 잘 이해가 안된다면 옆에 숫자를 한 번 대입해서 적어보시면 이해가 쉬운 편이랍니다. 조합의 성질, 공식 증명 조합의 경우도 순열과 마찬가지로 팩토리얼 형태로 다 바꾸어 준 다음 통분해서 식을 증명하시면 됩니다. 통분할 때 양쪽에 모두 다 곱해줘야 하는 경우도 있으니 주의하시고요.! 위의 성질들은 조합에서 맨 위의 두 개 식을 제외하면 굳이 외워서 써야 하는 식은 아닙니다. 그래서 증명 정도만..

경우의 수 또는 확률에서는 배수 만들기 문제가 종종 나옵니다. 만약 배수의 특징을 모른다면 아래 포스팅 먼저 정독하고 오세요. https://ladyang86.tistory.com/57 배수 판정법 (초중고딩 모두 이해할 수 있음)경우의 수를 구하다보면 배수 판정법이 종종 쓰일 때가 있죠. 쉬운 편이니 금방 정리하고 넘어갑시다. 규칙이 비슷한 것들끼리 살펴보고 필요하다면 증명도 같이 해보도록 해요.^^ 끝자리 수로ladyang86.tistory.com 일반적으로 숫자를 만들 때, 2의 배수나 5의 배수처럼 끝자리만 맞춘다고 되는 게 아닌 유형이 바로 3의 배수 만들기입니다. 3의 배수의 경우에는 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 됩니다. 주어진 숫자가 적은 경우에는 숫자를..

수학1 수열의 합 기본 공식 (자연수의 거듭제곱의 합) 자연수의 거듭제곱의 합은 우리가 암기해서 쓰는 기본 공식이죠. 보통 아래 3개 정도는 다 외워서 씁니다. ①은 등차수열의 합으로 유도해서 풉니다. 나머지 둘은 어떻게 증명할까요? 보통 교과서에서는 아래와 같이 항등식을 이용하여 유도합니다. 납득은 가지만 별로 직관적으로 와닿지는 않죠. 그래서 다른 방법 두 가지 정도를 추가로 더 이용하여 공식이 성립함을 이해해볼까 합니다. 나무 블럭을 이용한 수열의 합 이해 나무 블럭 세 덩이를 쌓아 올려서 직육면체를 만들어 줍니다. 밑면은 n(n+1)이 되고 위로 튀어나온 나무 블럭은 반으로 갈라 반대쪽을 덮어주면 됩니다. 세 덩이 합쳐서 부피가 n(n+1)(n+1/2)이 되었으니 3으로 나누어서 정리해주면 되죠...

나는 문과라 도저히 미적분이랑 뭘 엮어야 할지 모르겠다고 고민되는 분이라면 오늘 포스팅 집중! 사회계열, 철학계열까지 충분히 커버가능한 주제를 갖고 왔답니다. 바로 접선에 개념 변화를 정반합의 과정과 엮어서 살펴볼까 합니다. 문과를 위한 수학탐구 추천주제 우선 라카토스의 수학관은 아래와 같습니다. 수학은 추측 - 증명 - 반박의 끊임없는 개선을 통해 성장하는 '준경험주의적 과학'이라는 것이죠. 라카토스의 지식의 성장 과정은 아래와 같습니다. 1) 수학적 추측 제기 2) 원래 추측을 부분추측으로 분해 3) 반례의 등장 & 추측과 증명을 반박 4) 추측과 증명을 개선 (이 부분은 좀 더 자세히 쓰자면 교육학 쪽에서 다루어야 하니 일단은 지양하죠.) ​ 헤겔의 변증법, 라카토스의 수학관 등 인문학쪽에서도 엮을..

내신 대비 하면서 문제를 풀다보니 은근 자료 찾기가 힘들어서 코시 슈바르츠 부등식 포스팅을 계속하게 되네요. 이게 내용상 엄청 중요해서 강조하려고 작성하는 것 보다, 교육과정에서 메인으로 다루는 내용은 아니다보니 오히려 알려주고 싶은데 모여있는 내용이 잘 없어서 쓰게 되는 것 같습니다. 그래서 더 이상은 포스팅 안했으면 좋겠다는 희망을 담아 항이 3개 이상인 코시 슈바르츠 부등식을 오늘 다뤄볼까 합니다. 혹시 아직 코시 슈바르츠 부등식이 익숙치 않으신 분들은 포스팅 하단에 링크 걸어두었으니 참고 하시기 바랍니다. 코시 슈바르츠 부등식 항이 3개일 때, n=2일 때는 이전에 증명했으니 이번에는 n=3일때를 증명해보겠습니다. 증명방법은 동일합니다. 차로 비교하면 되는데, 과정에서 완전 제곱식이 나오기 때문에..

명제 단원을 풀 때마다 수체계에 관한 질문들이 은근 들어와서 전체정리 해볼까 하다가 우선은 기호 유래만 간단하게 적어보는 포스팅입니다. 자연수 (N) : Natural numbers(영어) 자연에서 물건을 하나, 둘, 세면서 나온 수라 Natural numbers라고 불린다고 들었던 기억이 나네요. 정수 (Z) : 정수는 영어로는 Integer인데, 수 체계에서는 Z라고 씁니다. 독일어 Zahlen ('(수를)세다')에서 유래했다고 합니다. 유리수 (Q) : 유리수도 영어로는 Rational numbers인데, 기호는 Q라고 씁니다. 독일어 Quotient ('몫')에서는 그대로 쓰이고, 유리수의 정의 자체가 분수 꼴로 표현 가능한 수이므로 몫에서 갖고 왔단 말도 있네요. 사실 영어 앞글자 따면 실수(R..

삼각비의 특수각은 0º, 30º, 45º, 60º, 90º까지는 외워서 쓰죠. 그리고 미적분에서 삼각함수의 덧셈정리를 배우고 나면, 15º=45º-30º 75º=45º+30º 22.5º=45º/2 67.5º=45º+22.5º or 90º-22.5º 이런 식으로 특수각들로 만들 수 있는 다른 각도 삼각비의 값을 구할 수 있답니다. 그렇지만 오늘의 카테고리는 중등 3학년 삼각비! 그래서 도형으로 해당 값들을 유도해서 풀어볼거에요. 중3 삼각비 15도, 75도 유도 기본은 우리가 아는 30º, 60º, 90º로 이루어진 직각 삼각형과 직각 이등변 삼각형 두 개를 붙여놓은 걸로 시작합니다. 처음부터 미지수를 쓰면 눈에 잘 안 들어올 수 있으니 간단하게 숫자로 설명하고 일반화하도록 할게요! 아래 그림과 같이 BE..

일차 부등식의 활용에서 과부족 문제를 많이들 어려워하시는 것 같아 몇 개 풀이를 준비해보았습니다. 중학교 2학년 때 일차 부등식 배우면서 나오는 경우도 있고, 고1때 일차 부등식 하면서 다루는 경우도 종종 있더라고요. 그림으로 쉽게 풀이하였으니 도움이 되었으면 좋겠네요. 문제 1 어느 학년 학생 전체가 강당의 긴 의자에 앉는데 한 의자에 5명씩 앉으면 학생이 8명 남고, 6명씩 앉으면 의자가 4개 남는다. 다음 중 의자의 개수가 될 수 없는 것은? ①34 ②35 ③36 ④37 ⑤38 따라서 정답은 ⑤38 문제 2 아래 표는 두 식품 A,B에 대하여 각각 100g에 들어 있는 열량과 단백질의 양을 나타낸 것이다. 두 식품 A, B를 합하여 200g을 섭취하여 열량은 300 kcal 이상, 단백질은 30g ..