한량 지아이의 수학 LIFE

오늘 다뤄볼 내용은 수열에서 많이 나오는 Sn과 an 사이의 관계에 관한 내용입니다. Sn과 an 사이의 관계 (수열의 합과 일반항 사이의 관계) 우선은 간단하게 수열의 합 Sn과 일반항 an 사이의 관계를 살펴봅시다. Sn은 수열의 첫번째 항부터 n번째 항까지의 합입니다. 즉 누적해서 쭉 더하는 거죠. 1항부터 차례대로 더해주면 됩니다. 그렇다면 n항까지의 합이나 (n-1)항까지의 합도 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 우리가 수열에서 구하고 싶은 건 일반항이므로 둘을 빼서 정리해줍니다. 그럼 아래와 같은 관계식이 나오는 군요! 그런데 여기서 잠깐..! 수열은 첫번째 항부터 정의되기 때문에 실제 수열에서는 존재하지 않는 항입니다. 따라서 첫번째 항의 경우에는 차로 쓰지 않고 a1=S1으로 정의해서 새로 써..

부분합으로 이루어진 수열 오늘은 등차수열과 등비수열의 부분합으로 이루어진 수열을 살펴볼까 합니다. 간단하게 결론부터 이야기하자면, 앞에서부터 차례로 같은 개수로 끊어서 더하면 등차수열의 합은 등차수열, 등비수열의 합은 등비수열이에요. 이걸 이용하면 빨리 풀 수 있는 문제가 많기 때문에 한 번 익힌 다음 오래오래 써먹어봅시다. 등차수열의 합은 등차수열 간단합니다. 등차수열을 n개씩 잘라서 더해볼게요. 즉, 합끼리의 차도 항상 동일하기 때문에, 이 역시 등차수열입니다. 문자로 쓰니 조금 어려운가요? 좀 더 쉽게 예제를 풀면서 익혀보도록 할게요. 예제 1 등차수열 {an}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자. S5=25, S10=75일 때, S15의 값을 구하시오. 앞에서부터 5개씩 잘라서 더한 다..

수학자가 주인공으로 나오는 영화 한 번 정리해봤습니다. (뭐.. 물리학이나 암호학 등도 포함이긴 합니다만..) 사실 저도 다 본 건 아닌데, 저도 시간이 나면 한 편씩 차차 관람해볼까 싶어서 네이버 평점을 기준으로 높은 순으로 정리 한 번 해봤습니다. 스샷은 모두 네이버 영화에서 갖고 왔습니다. 참, 실화를 바탕으로 한 경우에는 빨간 색으로 표기해두었어요. 수학자가 주인공인 영화 (혹은 수학이 영화 내에서 계속 나오는(?) 영화) 1. 굿윌헌팅 수학 영화 추천으로 검색하면 가장 먼저 뜨는 영화가 굿윌헌팅인듯합니다. 뛰어난 기억력과 수리능력을 가진 천재 청년이 어린 시절 학대 당하면서 굳게 닫혔던 마음을 열고 타인에게 다가가는 과정을 담은 영화라고 합니다. 아직 못봤는데 기회가 되면 봐야겠네요. 2. 히든..

탄젠트 그래프에서 점근선의 방정식 구하는 법 이게 보통 탄젠트 그래프 개형 배울 때 가장 어려운 부분이죠. 우선은 평행하지 않은 그래프를 기본으로 점근선의 방정식을 구하고, 그다음에 평행이동으로 반영해주면 됩니다. 1. 우선은 주기를 구합니다. 2. x=주기/2 + 주기n으로 점근선의 방정식을 세웁니다. 3. x축 평행이동을 반영해줍니다. 4. 식을 정리해주시면 됩니다. 탄젠트 함수 점근선의 방정식 관찰 해보기 우선 가장 기본적인 탄젠트 함수의 그래프를 살펴봅시다. 탄젠트 그래프를 관찰해보니 원점을 기준으로 대칭이라, 아래와 같이 점근선의 방정식 사이의 거리가 주기인 것이 보이네요. 그렇다면 x축 양의 방향에서 가장 먼저 나오는 점근선은 x=주기/2이 되겠군요! 그리고 주기만큼 계속 반복돼서 나옵니다. ..

부정방정식, 실수 조건일 때 해 구하는 방법 오늘은 부정방정식 중 실수 조건이 주어졌을 때 해를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 먼저 실수가 가진 성질을 생각해볼까요? 실수는 제곱하면 항상 0보다 크거나 같습니다. 즉 A가 실수이면 A²≥0이죠. 그래서 만약 두 실수 A,B가 있는데 A²+B²=0이라면 A=B=0일 수 밖에 없습니다. 실수 조건의 부정방정식에서, 완전제곱꼴로 모든 식을 바꿔줄 수 있다면 금방 풀 수 있습니다. 개인적으로는 주로 일차항을 보고 정리를 해주는데, 어렵다면 일단 하나의 문자라도 먼저 제곱식을 만들어 보세요. 그럼 나머지가 자동으로 나올 때가 많습니다. 문자나 숫자를 적절~히 쪼개서 완전제곱식을 만드는 거죠. 우선 연습을 좀 해볼까요? 다음 방정식을 만족시키는 실수 x,y의 ..

쉬워서 시험에 꼭 나오는데 은근 오답률이 높은 지수함수, 로그함수 설명문제 모음입니다. 기본적으로 0

실근의 개수 오늘은 거듭제곱근 중 실근의 개수에 대한 내용을 정리하고 문제를 풀어보겠습니다. 이건 중요한 내용이라 이전에도 포스팅을 했었습니다. 그래서 간단한 기본기 문제를 풀고 싶으신 분들은, 아래 내용부터 먼저 복습하고 오세요. 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수 거듭제곱근 중 실수의 개수에 관한 문제들을 풀어볼거에요. 개념 정리가 머릿속에 딱!되어있으면 굉장히 쉽게 풀 수 있습니다. 우선 거듭제곱근의 정의는 아래와 같습니다. 보통 근호를 이용해 ladyang86.tistory.com 겹치는 내용이지만 간단하게 정리해봅시다. 우선 정의를 명확하게 알아야겠죠? 복소수 범위에서 n제곱근은 항상 n개 나옵니다. 아래도 같은 표현인데 사용하는 문자가 항상 x와 a인 것은 아니니 꼭 의미를 이해하고 풀어주세요. ..

지수에 분수가 들어가 있으면 치환해서 푸는 게 훨씬 편합니다. 그래서 오늘은 지수 단원에서 배우는 내용 중, 곱셈 공식 쓰는 유형을 모두 치환으로 풀어볼 거예요. 1학년 때 우리를 괴롭혔던 곱셈 공식, 계속 나오네요. 혹시 까먹으셨으면 먼저 공식 복습부터 해오시고요..! 이건 번거롭더라도 되도록이면 치환해서 풀길 권하는 바입니다. 그럼 무얼 치환하느냐? 가장 작은 분수의 거듭제곱을 치환하는 편이 쉽습니다. 솔직히 어려운 내용은 아닌데, 풀려보면 의외로 오답률은 높거든요. 아는 문제라고 빨리 풀고 넘어가려고 하지 말고, 꼼꼼하게 풀어서 맞추시길 바랍니다. 문제 1 문제 2 문제 3 이것도 비슷한 유형 중 좋은 문제가 있으면 문제를 더 추가하도록 할게요! 얼마 남지 않은 중간고사 준비 열심히 하시고, 내가 ..

이차식으로 나눈 나머지 정리 오늘은 나머지 정리를 다뤄보겠습니다. 보통 일반적으로 서로 다른 수를 대입하여 푸는 건 쉽습니다. 그래서 많이들 틀리는 유형만 가볍게 다뤄볼까 해요. 첫 번째는 완전 제곱식으로 나눈 나머지 정리입니다. 아래 예제를 같이 풀면서 설명할게요. 예제 1 보통 이 문제를 풀 때 다들 아래와 같이 식까지는 세웁니다. 그리고 여기서 보통 많이들 헤매죠. 왜냐면 아는 식은 f(1), f(-2) 2개인데, 미지수가 a, b, c로 총 3개가 나오기 때문입니다. 조금 진정하고 살펴봅시다. 녹색으로 쓴 식 역시 이차식이고, f(x)는 주어진 세 식에서 모두 같은 식입니다. 즉, f(x)는 (x-1) ²으로 나눈 나머지가 3x+2라는 조건을 여기서도 그대로 쓸 수 있죠. (x-1) ²은 이차식이..

동경의 위치관계 혹시 이상한 공식 같은 거(?) 외워서 풀려는 학우 여러분은 없겠죠? 오늘은 이해를 기반으로 한 동경의 위치관계를 총정리 해볼까 합니다. 순서는 아래와 같습니다. 1. 그래프를 그린다. (이 때 동경은 최대한 안예쁘게(?) 그린다.) 2. 두 동경을 적절하게 더하거나 빼서 특수각을 만든다. (0˚, 90˚, 180˚, 270˚ 등등..) 3. 식을 정리 후, 범위에 맞게 n을 대입해준다. 그래서 이 순서에 맞게, 두 동경이 일치하는 경우, x축 대칭인 경우, y축 대칭인 경우, 원점 대칭인 경우, y=x 대칭인 경우로 전부 다 풀어보면서 하나씩 익혀보도록 합시다. 문제1 각 θ를 나타내는 동경과 각 5θ를 나타내는 동경이 일치한다. 이러한 각θ를 구하여라. (단 0º