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[절대부등식] 코시 슈바르츠 부등식 증명 및 사용법

오늘은 절대 부등식 중 코시/슈바르츠 부등식에 대해서 알아볼 예정입니다. 우선 코시-슈바르츠 부등식은 아래와 같아요. 증명은 일반적인 부등식 증명법과 같습니다. 그냥 전개해서 빼면 됩니다. 등호는 ay-bx=0일 때 성립하는 것도 같이 기억 해주시구요. 코시 부등식은 개형 자체를 통째로 외워서, 그대로 만들어주면 됩니다! 그럼 이제 본론으로 들어가봅시다.! 코시-슈바르츠 부등식 언제 쓰나요? 1. 문제에서 주어진 식과 구해야 하는 식의 관계가 제곱인 경우. ex) 일차 & 이차, 무리식 & 일차식 등 2. 분자와 분모에 같은 문자가 있는 경우 이 경우는 산술/기하 부등식보다 훨씬 편합니다. 이건 다음 포스팅에서 이어서 할게요.^^ 예제를 풀어봅시다! 문제1 1. 주어진 식, 구해야 하는 식 이차 & 일차..

[삼각함수의 활용] 삼각형의 넓이 공식 5가지

삼각함수의 활용에서는 삼각형의 넓이를 자주 구합니다. 삼각형의 넓이를 구하는 공식 5가지를 살펴볼거에요. 꼭 외워주세요! 5가지를 그냥 다 외우려면 상당히 복잡하므로, 우선 크게 1,2,3을 묶어서 같이 외우고 4,5를 외울게요. ①②③은 사인법칙으로부터 파생되는 것 ④ 헤론의 공식 ⑤ 내접원의 반지름과 둘레의 길이로 구하는 방법입니다. 하나씩 차근히 살펴보도록 해요. 가장 기본적인 공식이죠. 중3 때부터 외운 것일 테니 넘어갈게요! 여기에 사인법칙을 잠깐 기억해볼까요? 식에서 sinC를 사인법칙을 이용하여 바꿔주기만 한 것인데 ② 공식이 나왔군요.! 사인법칙 한 번 더 써볼까요? 이번에는 두 변 a,b를 사인법칙을 이용하여 바꿔주었더니 ③ 공식이 같이 나왔어요. ①만 알면 ②,③은 사인법칙으로부터 유도..

[조건부 확률] 독립이 되는 사건 쉽게 찾기

조건부 확률에서 사건의 독립과 종속을 체크할 때, 일반적으로 P(A)P(B)=P(A∩B)를 이용해서 풉니다. 그런데, 독립의 정의를 이용하면, 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다. 두 사건 A,B가 독립이다 P(A)=P(A|B)이죠. 확실하게 확률을 구할 수 있는 사건을 구해두고, 나머지를 조건부 확률을 이용해서 풀면 됩니다. 만약 사건의 독립과 종속에 관한 부분을 잘 모르겠다...하면 아래 내용을 복습하고 오시면 됩니다. https://ladyang86.tistory.com/8?category=791745 [조건부 확률] 사건의 독립과 종속 (필수 암기 알고리즘) 두 사건의 관계에 대해 알아봅시다. 사건 A가 일어나는 것에 상관없이 사건 B가 일어날 확률이 일정할 때, 두 사건 A,B는 서로 독립이라 하고,..

수학계의 베토벤, 레온하르트 오일러 : 논문을 가장 많이 쓴 수학자

오늘은 가장 많은 논문을 지필한 수학자 오일러에 대해 이야기해볼까 합니다. 평생 약 92권의 전집과 866편에 달하는 논문을 작성하였다고 하네요. 진짜 놀라운 분량입니다. 아무튼, 오일러는 18세기의 저명한 수학자에요. 찾아보니 우표로도 여러번 발행이 되었구요.! 오일러라는 학자의 이름자체는 잘 모르더라도, 오늘날 표준으로 쓰이는 대부분의 기호나 용어들의 대다수는 오일러가 처음 만든 것들이 많아서 들으면 잘 아실거에요. 함수 기호를 f(x)로 쓴다거나, 삼각함수를 sin, cos, tan로 쓴다거나, 자연상수 e도 오일러가 고안한 것이죠. 원주율 기호 π(파이)도 처음 쓴 사람은 윌리엄 존스(1675-1749)지만 오일러가 사용하면서 표준으로 굳어졌다고 보시면 됩니다. LEONHARD EULER : 수학..

[수열] 등차수열의 합으로부터 등차수열의 일반항 빨리 구하는 방법

오늘은 등차수열의 합의 형태를 관찰함으로써 등차수열의 일반항을 빨리 구해보도록 하겠습니다. 우선 등차수열의 합 공식을 살펴볼까요? 식에서 a와 d는 첫째항과 공차로 상수입니다. 문자중 n만 변수죠. 그래서 준 식을 n에 대한 식으로 정리해보면, 상수항이 없는 이차식의 형태가 나옵니다. 반대로 상수항이 없는 이차식도 살펴봅시다. 이것도 일반항을 구해보니 첫번째 항부터 등차수열의 합이 되네요. 즉, 등차수열의 합 = 상수항이 없는 이차식이 되는군요. 그렇다면 지금부터는 둘의 관계를 살펴봅시다. 이차항 계수만 비교해보면 이 식의 의미를 살펴봅시다. 그러니까 상수항이 없는 이차식은 등차수열의 합 공식인데, 이차항의 계수 x 2 = 공차가 나온다는 사실! 게다가 S1 = a1이므로 일반항을 바로 구할 수 있죠. ..

[이차방정식 꿀팁] 역수를 근으로 갖는 방정식 빨리 구하는 방법

오늘은 이차방정식에서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배워보도록 할게요. 원래는 근과 계수와의 관계를 이용하여 합과, 곱을 구하고 식을 직접 구성하면 됩니다. 그렇지만, 객관식인 경우에는 아래와 같이 바로 구할 수 있어요. 이차방정식의 근이 주어졌을 때, 역수이거나, 부호가 반대이면 계수를 통해 바로 방정식을 구할 수 있답니다. 물론 그냥 외워!!가 아니고, 왜 이런 관계식이 나오는지 설명도 해드릴게요. 그럼 살펴볼까요? 1. 역수를 근으로 갖는 이차방정식 구하기 순서를 거꾸로 써서 정리해볼까요? 괄호를 이용하여 표현해볼게요. 제곱형태를 정리해준다면 이렇게 되겠군요. 아니 이것은..!! 위와 같은 방법을 사용한다면 나머지 한 근도 증명할 수 있습니다. 즉, 계수의 순서를 반대로 쓴 방정식은, 원래 ..

[확률] 수학적 확률 - 로또 1등 당첨 될 확률은 1/2이다. 왜냐하면 되거나, 안되거나 둘 중 하나니까.

A : 로또 1등에 당첨될 확률은 1/2이야. 왜냐면 1등 당첨이 되거나 안되거나 둘 중 하나기 때문이지. B : 바보냐? 로또 1등에 당첨될 확률은 1/6이야. 1등, 2등, 3등, 4등, 5등이 되거나 꽝이 되는 경우 요 여섯개 중에 하나니까!! 언뜻 들으면 말도 안되는 소리란 건 알겠지만, 왜 아닌지 논리적으로 반박하기가 쉽지 않죠. 오늘은 이 예시가 왜 틀렸는지 수학적 확률을 통해 알아봅시다. 수학에서 확률이란 어떤 사건이 일어날 가능성을 수치로 나타낸 것입니다. 우선은 고등학교 확률과 통계에서 사용하는 용어를 가볍게 정리해보고 갑시다. 시행 : 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 관찰이나 실험 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과 전체의 집합 사건 ..

[정규분포] 정규분포와 이항분포가 섞인 문제 (2006년 교육청 10월 가형 #17)

오늘은 정규분포 문제 중에서 이항분포가 섞여있는 살짝 어려운 문제를 한 번 풀어볼 예정입니다. 정규분포/이항분포는 따로 두고 풀 때는 쉬운 기본적인 문제들이 많습니다. 사실 변수를 굳이 여러개 쓰지 않아도 되는 경우가 많죠. 그렇지만, 난이도가 올라가면 분포도/변수도 여럿 등장합니다. 여러 가지 분포가 섞인 경우에는 변수 사이의 관계식이 잘 보이지 않죠. 이럴 때는 문장을 하나씩 읽어보며 변수에 이름을 정해주고, 구하고자 하는 값부터 거꾸로 접근해보는 것을 추천합니다. 그럼 문제 풀어볼까요? #정규분포 #이항분포 #확통고난도 2006년 교육청 10월 가형 17번 문제입니다. 문제에서 변수의 이름을 다 주었으므로, 주의깊게 살펴봅시다. X는 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리(연속) Y는 12발의..

[이차방정식] 근의 공식 유도과정 (시험에 99% 출제되므로 필수 암기)

문제에서 ‘이차방정식을 풀어라’-라는 말은 주어진 등식을 만족하게 하는 x의 값을 모두 구하라는 뜻입니다. 근이 두 개인데 하나만 구하면 반만 맞은 것이 아니라 틀린 것이에요. 그리고 답을 쓸 때는 반드시 ,(콤마)로 표기를 해주고 x도 두 번씩 쓰셔야 합니다. 예를 들자면, (x-3)(x-1)=0의 해를 쓸 때 x=1,3 (안됨) x=1 또는 3 (안됨) x=1 or x=3 (됨) x=1 또는 x=3 (됨) 이런식으로 써주셔야 합니다. 이제 이차방정식을 푸는 방법을 알아봅시다. 1. 인수분해 하여 풉니다. 2. 인수분해가 안되면? 아래와 같이 완전제곱식 형태로 변형하여 풉니다. 이것을 일반화 한 것이 ‘근의 공식’이죠. 즉, 인수분해가 안되면, 근의 공식을 쓰시면 됩니다. * 이차방정식 근의 공식 유도..

[이차함수 그래프] 기본형을 표준형으로 바꾸기 (꼭짓점 찾기)

이차함수의 그래프 중 표준형을 살펴봅시다. 표준형의 그래프는 식만 보더라도 대강의 개형을 알 수 있습니다. a의 부호로 아래로/위로 볼록한지 판단할 수 있고, 꼭짓점의 좌표가 (p, q)이기 때문에 간단하게 개형을 그려볼 수 있죠. 반면 이를 모두 전개하여 나타낸 기본형의 경우에는 a의 부호로 볼록성을 판별하는 것 외에는 아직까지 감이 잘 오지 않습니다. 그래서 오늘은 기본형의 이차함수를 표준형으로 만드는 걸 연습해볼 예정입니다. 이차함수 표준형 만들기 알고리즘 1. 이차항 계수로 이차항과 일차항만 ()로 묶어줍니다. 상수항은 ()밖에 씁니다. * 이차방정식은 등식의 성질을 이용하여, 양변을 a로 나누어줬던 것 기억하시나요? 함수는 y를 그대로 두기 때문에 양변을 a로 나누지 말고 괄호를 사용하여 앞으로..

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