한량 지아이의 수학 LIFE

오늘은 위치에 따라 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수에 대해 정리해봅시다. 삼차함수의 접선의 개수는 교육과정에 있는 내용은 아닙니다. 그렇지만, 모의고사 등에 꾸준히 나오고, 내신에서 이 내용을 아느냐/모르느냐에 따라 시간 차이가 많이 나기 때문에 꼭 알아두는게 좋습니다. 접선의 개수를 구할 때는, 삼차함수의 그래프와 변곡점에서의 접선 이 두 가지는 경계로 그려놓고 판단하시면 됩니다. 변곡점이란? 변곡점이라는 용어 자체가 미적분에서 나와서 문과 학생들에게는 좀 생소한 용어죠. 간단하게 설명하자면, 그래프의 오목/볼록이 바뀌는 점입니다. 위로 볼록인 상태에서 아래로 볼록인 상태로 변하거나, 아래로 볼록인 상태에서 위로 볼록인 상태로 변하는 점이죠. 구하는 방법은 삼차함수에서는 두 번 미분해서 0되는 점..

오늘은 수능대비시 반드시 알아야 할 테마인 함수 곱의 연속에 대해 알아보겠습니다. 연속인 함수 x 연속인 함수 = 항상 연속인 함수죠. 그렇다면 연속 x 불연속은 어떻게 될까요? 이건 연속일수도/ 불연속일수도 있습니다. 그런데 만약 문제에서 연속 x 불연속인데 결과가 연속이라면, 반드시 연속인 함수가 0이어야 해요. 생각해봅시다. 연속은 점에서의 연속부터 정의되니 불연속이 되는 점을 파악하면 됩니다. 불연속 x 불연속의 경우는 직접 정석대로 좌우극한과 함숫값을 전부 구해서 보셔야 합니다. 아래에 문제를 한 번 직접 풀어보면서 익혀보도록 해요! 문제1 우선 f(x)와 g(x)를 살펴봅시다. f(x)는 x=1, x=3에서 불연속이고, g(x)는 이차함수라 실수 전체에서 연속입니다. 즉 불연속 x 연속 = 연..

오늘은 함수의 극한 중 초반 학습이 가장 어려운 합성함수 극한값을 살펴볼 예정입니다. 오늘 살펴볼 함수는 아래 f(x), g(x) 두 개입니다. 살펴볼 극한은 아래 3가지입니다. 극한이 존재하지 않는 경우는 없으니, 함정 없이 마음껏 풀어보세요. 그럼 하나씩 살펴볼까요? f에서 0의 우극한의 경우에는 1로 가까이 가는 값이 아니라, 계속 1이 나오므로, 합성할 때 극한이 아니라 함숫값으로 나옵니다. 여기에 유의하셔야해요.! 마지막 문제입니다. 괄호 안에 극한이 있는 경우에는, 그냥 극한값을 계산하여 함숫값으로 대입하시면 됩니다. 합성함수의 극한은 치환해서 보시면 편합니다. 나중에 빨라지면 그래프 보고 눈으로도 바로 찾을 수 있긴 한데, 그건 연습이 좀 많이 필요하죠. 다음에 또 다양한 문제 들고 올게요!

수학2에서 함수의 극한을 배운 다음에는, 함수의 연속과 불연속을 배웁니다. 먼저는 한 점에서의 연속을 배우고, 구간에서의 연속을 배우죠. 그리고 주로 문제를 풀 때는 불연속 점의 개수가 유한개인 다룹니다. 아래처럼요. 그래서 이번엔, 불연속 점의 개수가 무한개인 함수를 다뤄볼까 합니다. 좀 더 나아가서 모든 점에서 불연속인 함수를 알아볼거에요. x=a로 다가가는 극한값 현 고등학교 교육과정은 x가 a로 다가갈 때, 왼쪽/오른쪽으로 좌/우만 관찰합니다. 이를 좌극한/우극한이라고 다루죠. x=a에서 연속일 때 아래 명제가 성립합니다. 조금 더 자세히 보자면, 즉 리미트 기호가 함숫값 안쪽에 들어갈 수 있단 말이죠. 여기서 괄호 안쪽을 볼 겁니다. a로 다가가는 극한값은 사실 다양한 방식을 쓸 수 있습니다. ..

오늘은 함수의 수렴과 연속의 성질들을 쉽게 외우는 방법에 대해 알아보겠습니다. 우리가 고2 내신을 준비하다보면, 진위 판정을 한 번쯤은 해보게 됩니다. 이게 은근 어렵죠. 나중에 좀 더 쓸텐데 진위판정에서는 되는 성질을 잘 외우시는 것이 중요합니다. 먼저 가장 기본적인 성질들을 살펴보기 전, 간단한 개념 하나만 살펴봅시다. 이항연산에서 '닫혀있다'라는 개념입니다. A라는 집합과 *라는 연산에 대하여 연산 결과가 항상 A라는 집합에 포함된다면, A는 *에 대하여 닫혀있다고 표현합니다. 영어로는 말 그대로 Close 예시를 들자면, 자연수 집합 N과 덧셈 연산+을 살펴보면, 자연수 + 자연수 = 자연수가 되죠. 이 때 +는 N에 대하여 닫혀있다고 표현합니다. 그럼 뺄셈은 어떨까요? 자연수 - 자연수 = 항상..

오늘은 이전에 배운 가우스의 기본 성질들을 정리해봅시다. 가우스의 정의나 기본적인 그래프 등은 따로 올릴테니 나중에 참고하시고, 수학2에서 문제 풀 때 필요한 가우스의 성질만 다시 간단하게 살펴볼게요. 함수의 극한에서 가우스가 등장하는 문제들은 이렇게 식을 정리한 다음 조임정리를 이용하여 풀면 됩니다. 정말 자주 나오는 성질이라 꼭 알고 있어야 하는데, 증명이 어렵지 않기 때문에, 혹시 기억이 안 나면 유도해서 쓰세요! 첨부파일은 혹시나 내용이 변경될 때 수정하기 위해 편집본을 올리는 것이니, 굳이 볼 필요 없습니다. :-)