한량 지아이의 수학 LIFE

오늘은 이항계수의 성질 중 제곱의 합으로 된 부분을 살펴보겠습니다. 보통 책에서 성질의 증명을 모두 다 항등식의 계수로 설명을 해두는 편이라 처음 배울때 이해가 잘 안된다는 의견이 많더라구요. 그래서 이해하기 쉬운 예시 위주로 설명해볼까 합니다. 예시 남자 10명, 여자 10명 있는 반에서 청소를 할 10명을 고른다고 합시다. 전체 20명 중에서 10명을 뽑는 것이니, 20C10이 됩니다. 이 경우를 좀 더 상세하게 나눠볼까요? 10명을 뽑는 경우는 1. 남 0 & 여 10 2. 남 1 & 여 9 3. 남 2 & 여 8 . . . 10. 남 0 & 여 10의 총 10가지 경우를 각자 계산해서 다 더한 것과 같습니다. 그런데 조합 C의 성질 덕분에, 이를 제곱으로 표현할 수 있죠. 일반화 남자 n명, 여자..

오늘은 원순열에서 많이들 헷갈리는 정다면체 색칠하는 방법의 수에 대한 포스팅입니다. 정다면체가 다섯 종류만 있는 이유 우선 정다면체는 다섯 종류만 존재합니다. 왜 그런지는 사실은 중학교 1학년 때 배웁니다. 가볍게 설명해볼게요. 평면도형을 합쳐서 입체를 만드는 것인데 입체를 만들려면 한 꼭짓점에 평면도형을 세 개 이상 모아야합니다. 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체를 생각해보면, ① 정삼각형 세 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정사면체 ② 정삼각형 네 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정팔면체 ③ 정삼각형 다섯 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정이십면체 요 세가지가 가능합니다. 정삼각형을 한 꼭짓점에 여섯 개 모으면 평면이 되므로 입체도형 만드는 것이 불가능하죠. 다른 정다각형도 살펴본다면, 정사각형으로..

최단거리 문제는 살짝만 바꿔도 조금씩 달라지므로 최대한 다양한 문제를 풀어서 연습하는 것이 중요합니다. 예제1. 아래 그림과 같은 도로망이 있을 때, A지점에서 출발하여 B까지 최단거리로 가는 방법의 수를 세어라. 최단거리 문제는 항상 최단 방향을 먼저 파악한 다음 푸셔야 합니다. 그리고 지날 수 없단 조건이 나온다면, 지날 수 있는 길만 남겨두고 세는 게 더 좋겠죠? sol1) 같은 것이 있는 순열로 풀이 sol2) 직접 세기 예제2 아래 그림과 같은 도로망이 있다. 색칠한 부분은 공사 중이어서 지나갈 수 없을 때, A지점에서 B 지점까지 최단거리로 가는 방법의 수를 구하여라. (단, 모든 도로는 평행하거나 수직으로 만난다.) 우선은 최단거리 방향을 파악합니다. 그리고 지날 수 없는 길은 버립시다. 도..

이전에 중복조합의 다양한 예시에서 배웠던 것들 기억하시죠?여기서 가장 중요하게 다루었던 부분이 부정방정식의 정수해입니다. 오늘은 이 부분을 좀 더 자세하게 살펴볼 거에요. https://ladyang86.tistory.com/27?category=791745 [중복조합] 대표 예제 5개와 함께 이해하며 외우기오늘은 순열과 조합에서 가장 중요한 중복 조합에 대해 살펴봅시다. 정의 : 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 선택하는 경우 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 이 때 n은 자연수, r은 0과ladyang86.tistory.com부정방정식의 정수해 문제는 해당 문자가 ‘음이 아닌 정수해’인 경우에만 H로 바꿀 수 있습니다.  즉, 자연수, 짝수 등 다른 조건이 붙으면 H로 바꿀 수 없기 때문에 ..

경우의 수를 구하다보면 배수 판정법이 종종 쓰일 때가 있죠. 쉬운 편이니 금방 정리하고 넘어갑시다. 규칙이 비슷한 것들끼리 살펴보고 필요하다면 증명도 같이 해보도록 해요.^^ 끝자리 수로 살펴보는 배수 판정법 2의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 짝수 5의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 5 10의 배수 : 일의 자리수가 0 (2의 배수 & 5의 배수이므로 공통 조건인 일의 자리수가 0인 걸 알 수 있습니다.) 초등학생들도 아는 가장 쉬운 배수판정법입니다. 일의 자리 숫자만 살펴보면 되죠. 그 다음은 4와 8의 배수입니다. 4의 배수 : 끝의 두 자리가 4의 배수 8의 배수 : 끝의 세 자리가 8의 배수 4와 8은 끝에서부터 각각 2자리, 3자리만큼을 보면 됩니다. 예를 들어볼까요? 4520 : 끝의 두..

조건부 확률에서 사건의 독립과 종속을 체크할 때, 일반적으로 P(A)P(B)=P(A∩B)를 이용해서 풉니다. 그런데, 독립의 정의를 이용하면, 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다. 두 사건 A,B가 독립이다 P(A)=P(A|B)이죠. 확실하게 확률을 구할 수 있는 사건을 구해두고, 나머지를 조건부 확률을 이용해서 풀면 됩니다. 만약 사건의 독립과 종속에 관한 부분을 잘 모르겠다...하면 아래 내용을 복습하고 오시면 됩니다. https://ladyang86.tistory.com/8?category=791745 [조건부 확률] 사건의 독립과 종속 (필수 암기 알고리즘) 두 사건의 관계에 대해 알아봅시다. 사건 A가 일어나는 것에 상관없이 사건 B가 일어날 확률이 일정할 때, 두 사건 A,B는 서로 독립이라 하고,..

A : 로또 1등에 당첨될 확률은 1/2이야. 왜냐면 1등 당첨이 되거나 안되거나 둘 중 하나기 때문이지. B : 바보냐? 로또 1등에 당첨될 확률은 1/6이야. 1등, 2등, 3등, 4등, 5등이 되거나 꽝이 되는 경우 요 여섯개 중에 하나니까!! 언뜻 들으면 말도 안되는 소리란 건 알겠지만, 왜 아닌지 논리적으로 반박하기가 쉽지 않죠. 오늘은 이 예시가 왜 틀렸는지 수학적 확률을 통해 알아봅시다. 수학에서 확률이란 어떤 사건이 일어날 가능성을 수치로 나타낸 것입니다. 우선은 고등학교 확률과 통계에서 사용하는 용어를 가볍게 정리해보고 갑시다. 시행 : 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 관찰이나 실험 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과 전체의 집합 사건 ..

오늘은 정규분포 문제 중에서 이항분포가 섞여있는 살짝 어려운 문제를 한 번 풀어볼 예정입니다. 정규분포/이항분포는 따로 두고 풀 때는 쉬운 기본적인 문제들이 많습니다. 사실 변수를 굳이 여러개 쓰지 않아도 되는 경우가 많죠. 그렇지만, 난이도가 올라가면 분포도/변수도 여럿 등장합니다. 여러 가지 분포가 섞인 경우에는 변수 사이의 관계식이 잘 보이지 않죠. 이럴 때는 문장을 하나씩 읽어보며 변수에 이름을 정해주고, 구하고자 하는 값부터 거꾸로 접근해보는 것을 추천합니다. 그럼 문제 풀어볼까요? #정규분포 #이항분포 #확통고난도 2006년 교육청 10월 가형 17번 문제입니다. 문제에서 변수의 이름을 다 주었으므로, 주의깊게 살펴봅시다. X는 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리(연속) Y는 12발의..

확률에서 자주 등장하는 가위, 바위, 보 문제를 살펴봅시다. 이 문제는 단순하게 접근하여 '누가' '뭘로' 이겼는지(혹은 졌는지)를 판단하면 됩니다. 가위바위보 문제는 가위,바위,보가 나올거라고 기대하는 정도가 같기에 수학적 확률로 접근합니다. n명이 가위바위보를 한다고 하면 각 케이스는 인원수대로 나누어서 살펴봅시다. 2명일 때 1. A만 이길 확률 1) 누가? A가 (1가지) 2) 뭘로 이길지? 가위/바위/보 (3가지) 2. 비길 확률 : 두 명일 때 비기려면 둘 다 같은 걸 내야죠. 1) 누가? A,B가 (2C2=1가지) 2) 뭘 같이 내지? 가위/바위/보 (3가지) 3명일 때 1. A만 이길 확률 1) 누가? A가 (1가지) 2) 뭘로 이기지? 가위/바위/보 (3가지) 2. 한 명만 이길 확률 1..

오늘은 순열과 조합에서 가장 중요한 중복 조합에 대해 살펴봅시다. 정의 : 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 선택하는 경우 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 이 때 n은 자연수, r은 0과 자연수(음이 아닌 정수)입니다. r개를 선택할 때 중복을 허용하기 때문에 r이 n보다 클 수도 있습니다. 이렇게만 설명하니 잘 안와닿죠?ㅎㅎ 중복조합을 공부할 때는 대표적인 예시들을 잘 이해하면 됩니다. 하나씩 살펴볼까요? 우선 가장 일반적인 걸 살펴볼게요. 중복조합의 정의에서 기인하는 방법입니다. 세 개의 숫자 1,2,3에서 중복을 허용하여 6개의 숫자를 선택하는 방법을 구해 봅시다. (정의에 의해 3H6이라고 쓸 수 있겠네요.) 각 조합에서 선택된 6개의 숫자를 1,2,3의 순서대로 나열한 다음 문자를 ○..