한량 지아이의 수학 LIFE

난 산술기하 평균이 정말 너무 약하다!! -하는 분들을 위한 포스팅입니다. 제 제자들도 맨 처음 이걸 배울 때 너무 어려워하기도 하고... 연습용 문제가 좀 산발적으로 있는 듯하여, 정리차 포스팅합니다. 우선 증명은 아래와 같습니다. a>0, b>0일 때, 기하적으로도 증명하는 방법은 이전에 포스팅해두었으니 아래 링크 참고 하시구요..! 산술기하 평균(부등식) - 기하적인 방법으로 증명하기 절대부등식의 대표적인 예로 산술기하평균을 이용한 부등식을 배웁니다. 이때, 두 식의 차를 이용하여 증명하는 것이 가장 일반적이지만, 기하적인 방법으로도 증명할 수 있습니다. 산술기하 ladyang86.tistory.com 그럼 이제 본격적으로 익혀봅시다. 우선은 산술기하평균 공식부터 5번 써보고 시작합시다. a>0, ..

명제가 거짓임을 보이기 위한 반례 오늘은 명제 p이면 q이다가 거짓임을 보이기 위한 반례를 잡는 법을 배워보도록 해요! p이면 q이다. 이 명제가 참이라면 P⊂Q입니다. 이 명제가 거짓이라면 P에는 속하지만 Q에는 속하지 않는 원소가 있겠죠? 그게 바로 반례입니다. 즉 우리가 p이면 q이다가 거짓이라고 말하려면, p이지만 q가 아닌 원소를 갖고와야 하는 거죠. 예를 들어볼까요? p : 노래를 잘한다. q : 키가 크다. 여기서 우리가 p->q가 참이라고 주장하는 건 노래를 잘하면 키가 크다 이렇게 만들어 볼 수 있겠군요. 이 주장이 틀렸다는 걸 보여주려면 어떤 사람을 데려와야 할까요? 노래는 잘 하지만, 키는 작은 친구를 데려와야겠죠? 즉 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 원소가 반례입니다. 그럼 이제..

우함수와 기함수를 곱하면? 기함수에 우함수를 합성하면? 이런 것 궁금하셨던 분들 주목! 오늘은 수학(하)와 수학2에서 나오는 우함수와 기함수에 대해 정리를 해보도록 하겠습니다. 사실은 수학(하)의 함수파트에서 배울 수도 있고, 안 배울수도 있어요. 교육과정에 필수 포함된 내용은 아니거든요. 근데 수학2에서는 꼭 나옵니다. 그리고 수학2에서도 이게 본 내용은 아니에요. 그래서 수학(하)에서 배우지 않았더라면 알아서 학습해야하는(?) 부분입니다. 조금 억울할 수는 있겠지만.. 뭐.. 네.. 그냥 공부 열심히 합시다. 우선 우함수는 y축 대칭인 함수입니다. f(-x)=f(x)로 표현이 되죠. 기함수는 원점 대칭인 함수입니다. g(-x)=-g(x)로 쓸 수 있어요. 일반적으로 증명은 주어진 함수에 x 대신 -x..

명제가 참인지 거짓인지는 진리 집합간의 포함관계로 판단하시면 됩니다. 즉 P⊂Q이면 p⇒q인 것이죠. 부등식이나 방정식 역시 이러한 방법으로 나타내면 좀 더 편하게 판단할 수 있습니다. 문자가 a,b인 경우도 마찬가지인데, 우리는 항상 축을 x,y로 썼으니 오늘 실린 모든 예제는 다 x,y라는 문자만 사용할거에요. 혹시나 다른 문자가 나오더라도 문자 바꿔서 그리시면 됩니다. 예제1 p : x=0이거나 y=0이다. q : x²+y²=0이다. x=0은 y축, y=0은 x축이고 or는 합집합이므로 둘다 그려주면 됩니다. 진리집합을 다 표시한 다음에는 포함관계를 살펴보시면 돼요! 예제2 p : x=y q : x²=y² 이건 직선으로 나타내시면 됩니다. 특히 q의 경우에는 인수분해가 되므로 직선을 2개 그리시면 ..

원래는 다 이동해야 하는데, 빨리 찾는 꿀팁 알려 드릴게요. 바로 분모를 0으로 만드는 x의 값을 분자에 대입하시면 됩니다. 먼저 간단한 문제를 풀면서, 어떻게 사용하는 건지 알아보도록 할게요. 다음 중 평행이동해서 y=2/x와 겹치는 함수의 그래프를 찾아보도록 합시다. 어때요 굉장히 쉽죠? 그럼 이게 왜 이렇게 풀 수 있는건지 간단하게 증명을 한 번 해보도록 할게요. 방법은 간단합니다. 표준형을 일반형으로 만드는 과정을 잘 관찰하시면 돼요. * 주의사항 위는 분모의 x 계수가 1일 때이므로, 1이 아닐 때는 분모의 x 계수를 같이 보셔야 합니다. 문제를 같이 풀어볼까요? 사실 ①은 x축 방향으로 평행이동한 모양이 바로 보이기 때문에 쉽습니다. 분모의 계수와 분자에 남은 값을 같이 봐야하는 게 포인트죠...

집합안에 집합이 들어가 있는 집합 본 적 있죠? 예를들면 이런거요. 집합기호⊂와, 원소기호∈를 배운다음 A={Ø,{Ø},0}일 때, Ø⊂A Ø∈A {Ø}∈A 이런 거 헷갈리셨다면 오늘 주목! 이런 문제를 유형 쭉-할거니까 자신없는 친구들은 끝까지 포스팅 보도록 해요! 오늘은 집합의 정의와 집합을 원소로 갖는 집합에 대해 배워볼거에요. 집합의 정의 집합이란 '어떤 조건에 의하여 그 대상을 명확하게 구분할 수 있는 것들의 모임'입니다. 객관적인 조건들을 만족시키는 대상들의 모임이죠. 객관적이다라는 게 '누가 봐도 이견이 없는-' 이라고 보면 됩니다. 그러니까 '키가 큰 사람들의 모임' 이런 건 집합이 될 수 없습니다. 왜 일까요? 180cm인 사람은 이 집합에 들어갈 수 있을까요? 초등학생들 사이에서 180..

오늘은 고1이 풀어볼만한 함수방정식을 몇 개 갖고 와봤습니다. 함수방정식은 함수 자체를 근으로 하는 방정식을 말합니다. 얼핏 보기엔 굉장히 힘들어 보이지만, 푸는 방식은 연립방정식과 비슷해요. 푸는 방법은 다 같습니다. 1. 함숫값에 들어가는 두 방정식의 문자가 같게 만들어 줍니다. 2. 연립방정식처럼 가감법을 이용하여 풀어줍니다. 그럼 하나씩 풀어볼까요? 예제1 함숫값에 들어가는 두 문자는 x와 1-x죠. 둘을 바꿔서 넣어주면 됩니다. 즉 x 대신 1-x를 넣는거죠. 그럼 1-x는 x가 되겠죠? 식을 정리해서 f(x)는 f(x)끼리, f(1-x)는 f(1-x)끼리 오도록 세로식을 정리해줍니다. 우리가 구하는 건 f(x)이니까, 가감법을 사용하여 f(1-x)를 없애주면 됩니다. 함수 자체를 다루는 거라,..

서로 다른 주사위 두 개를 던지는 문제는 순서쌍을 세는 것보다, 표로 그려서 풉시다. 주사위 문제는 고3때까지 꾸준히 나옵니다. 그리고 위의 표를 이용해서 푸는 방법은 한결 같이 사용할 수 있죠 :-) 다년간 지도를 해보면, 표를 그리는 게 귀찮기 때문에(?) 많은 학생들이 그냥 순서쌍을 찾으려고 합니다. 그렇지만 순서쌍은 바뀌는 경우를 고려하지 못하거나 중간에 숫자를 빼먹는 경우가 많죠. (사실 숫자 쓰는 게 더 귀찮아요.) 주사위 문제를 단 한 번이라도 틀린 적이 있다면, 오늘 포스팅 주목!! 앞으로 주사위는 표 그려서 풉시다! 아래는 주사위 문제를 표로 풀면 좋은 이유입니다. 1. 합이 일정함. 합이 일정하므로 찾기 쉽습니다. 같은 색깔은 합이 같은 수들입니다. 표기하다보면 누락하는 걸 방지할 수 ..

절댓값이 포함된 함수의 그래프는 고3 때까지 계속 나오므로, 꼭 그릴 줄 알아야 하죠. 특히나 y=|f(x)|의 그래프와, y=f(|x|)의 그래프 두 개는 x에서 y로의 함수 그래프이므로, 그릴 줄 알아야 합니다. 오늘은 유리함수를 대상으로 y=f(x) 그래프를 그린 다음, ① y=f(|x|)의 그래프 ② y=|f(x)|의 그래프 요 두 개를 모두 그려볼게요. 유리함수의 절댓값 그래프를 다양하게 그려보는 연습이죠 :-) 우선 위의 내용을 숙지하고, 따라오셔야 합니다. 저걸 왜 저렇게 그리는지는 포스팅 분량이 너무 길어지므로, 아래 링크해 둔 절댓값 함수의 그래프를 참고하시면 됩니다. ↓ https://ladyang86.tistory.com/18 [함수] 절댓값이 포함된 함수의 그래프 그리는 방법 오늘 ..

오늘은 시험 때 시간을 매우 단축시켜주는 꿀팁을 배워 볼 예정입니다. 교란순열(완전순열)이란? 교란순열 : Derangement 완전순열 : Complete permutation 혹은 서브 팩토리얼로 불립니다. Derangement 에서 D를 따와서, n개짜리 교란순열을 Dn이라고 씁니다. 정의 n개의 원소가 모두 자기 자신이 아닌 값으로 배정되는 순열 (모든 원소의 위치를 바꾸는 순열) 말이 좀 어렵죠? 아래 예제를 통해서 이해해봅시다. 아마 꼭 한 번씩은 보셨을 거에요:-) 예제1 학생을 An이라 하고 각자의 시험지를 an이라 합시다. 시험지를 바꿔서 채점한다고 할 때, 자신의 시험지는 자신이 채점하지 않을 때, 채점하는 방법의 수가 Dn입니다. 예제2 X={1,2,3,...,n} f : X->X로의..