한량 지아이의 수학 LIFE

서술형, 빈칸형으로 자주 출제되는 순열과 조합의 성질 한 번 정리해보고 가겠습니다. 아래 여섯 가지를 증명하실 수 있으면 오늘 포스팅은 그냥 넘어가셔도 됩니다. 아니라면 같이 연습해보시는 게 좋겠죠? ㅎㅎ 증명에서는 P, C둘 다 팩토리얼로 나타낸 식을 사용하면 됩니다. 순열의 성질, 공식 증명 써야 할 식의 변형이 잘 이해가 안된다면 옆에 숫자를 한 번 대입해서 적어보시면 이해가 쉬운 편이랍니다. 조합의 성질, 공식 증명 조합의 경우도 순열과 마찬가지로 팩토리얼 형태로 다 바꾸어 준 다음 통분해서 식을 증명하시면 됩니다. 통분할 때 양쪽에 모두 다 곱해줘야 하는 경우도 있으니 주의하시고요.! 위의 성질들은 조합에서 맨 위의 두 개 식을 제외하면 굳이 외워서 써야 하는 식은 아닙니다. 그래서 증명 정도만..

경우의 수 또는 확률에서는 배수 만들기 문제가 종종 나옵니다. 만약 배수의 특징을 모른다면 아래 포스팅 먼저 정독하고 오세요. https://ladyang86.tistory.com/57 배수 판정법 (초중고딩 모두 이해할 수 있음)경우의 수를 구하다보면 배수 판정법이 종종 쓰일 때가 있죠. 쉬운 편이니 금방 정리하고 넘어갑시다. 규칙이 비슷한 것들끼리 살펴보고 필요하다면 증명도 같이 해보도록 해요.^^ 끝자리 수로ladyang86.tistory.com 일반적으로 숫자를 만들 때, 2의 배수나 5의 배수처럼 끝자리만 맞춘다고 되는 게 아닌 유형이 바로 3의 배수 만들기입니다. 3의 배수의 경우에는 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 됩니다. 주어진 숫자가 적은 경우에는 숫자를..

내신 대비 하면서 문제를 풀다보니 은근 자료 찾기가 힘들어서 코시 슈바르츠 부등식 포스팅을 계속하게 되네요. 이게 내용상 엄청 중요해서 강조하려고 작성하는 것 보다, 교육과정에서 메인으로 다루는 내용은 아니다보니 오히려 알려주고 싶은데 모여있는 내용이 잘 없어서 쓰게 되는 것 같습니다. 그래서 더 이상은 포스팅 안했으면 좋겠다는 희망을 담아 항이 3개 이상인 코시 슈바르츠 부등식을 오늘 다뤄볼까 합니다. 혹시 아직 코시 슈바르츠 부등식이 익숙치 않으신 분들은 포스팅 하단에 링크 걸어두었으니 참고 하시기 바랍니다. 코시 슈바르츠 부등식 항이 3개일 때, n=2일 때는 이전에 증명했으니 이번에는 n=3일때를 증명해보겠습니다. 증명방법은 동일합니다. 차로 비교하면 되는데, 과정에서 완전 제곱식이 나오기 때문에..

명제 단원을 풀 때마다 수체계에 관한 질문들이 은근 들어와서 전체정리 해볼까 하다가 우선은 기호 유래만 간단하게 적어보는 포스팅입니다. 자연수 (N) : Natural numbers(영어) 자연에서 물건을 하나, 둘, 세면서 나온 수라 Natural numbers라고 불린다고 들었던 기억이 나네요. 정수 (Z) : 정수는 영어로는 Integer인데, 수 체계에서는 Z라고 씁니다. 독일어 Zahlen ('(수를)세다')에서 유래했다고 합니다. 유리수 (Q) : 유리수도 영어로는 Rational numbers인데, 기호는 Q라고 씁니다. 독일어 Quotient ('몫')에서는 그대로 쓰이고, 유리수의 정의 자체가 분수 꼴로 표현 가능한 수이므로 몫에서 갖고 왔단 말도 있네요. 사실 영어 앞글자 따면 실수(R..

일차 부등식의 활용에서 과부족 문제를 많이들 어려워하시는 것 같아 몇 개 풀이를 준비해보았습니다. 중학교 2학년 때 일차 부등식 배우면서 나오는 경우도 있고, 고1때 일차 부등식 하면서 다루는 경우도 종종 있더라고요. 그림으로 쉽게 풀이하였으니 도움이 되었으면 좋겠네요. 문제 1 어느 학년 학생 전체가 강당의 긴 의자에 앉는데 한 의자에 5명씩 앉으면 학생이 8명 남고, 6명씩 앉으면 의자가 4개 남는다. 다음 중 의자의 개수가 될 수 없는 것은? ①34 ②35 ③36 ④37 ⑤38 따라서 정답은 ⑤38 문제 2 아래 표는 두 식품 A,B에 대하여 각각 100g에 들어 있는 열량과 단백질의 양을 나타낸 것이다. 두 식품 A, B를 합하여 200g을 섭취하여 열량은 300 kcal 이상, 단백질은 30g ..

유리함수의 그래프 어떤 형태든지 7초 만에 그리는 방법 오늘 배워보도록 할게요. 유리함수 그래프 그리는 방법 표준형, 일반형 상관없이 순서는 아래와 같습니다. 1. 점근선을 구한다. 2. 곡선이 지나는 한 점을 구한다. (주로 y절편 이용) 3. 점근선에 안 닿게 그래프를 잘 그려준다. 무엇보다도 유리함수의 그래프 특징을 익혀 두시는 게 가장 중요합니다. 유리함수 그래프는 선대칭인 동시에 점대칭이므로 그래프 성질만 똑바로 알아도 많은 문제를 금방 풀 수 있어요. 그리고 일반형의 경우에는, 아래와 같이 점근선의 방정식을 바로 찾을 수 있습니다. 정리하자면 아래와 같죠. 그럼 실제로 한 번 그려볼까요? 노란선에 닿지 않으면서 (점근선) 빨간 점을 지나는 (지나는 한 점) 유리함수의 그래프는 어떻게 생겼을까요..

함수의 극한을 처음 배우다보면, 그래프를 그려서 극한을 구하는 부분이 가장 먼저 나옵니다. 그런데 제가 지도해보니 분수함수의 그래프 중 절댓값이나 제곱이 들어간 경우에는 학생들이 잘 못 그리는 것 같아 오늘의 포스팅 가볍게 작성해보았습니다. 유리함수나 무리함수의 그래프, 이차함수의 그래프가 기억이 안 나신다면 이전에 배웠던 내용들을 다시 가볍게 복습하는 걸 권해드립니다. 다만 분모에 제곱이 들어간 형태는 이전에 배운 게 아니라, 가볍게 개형만 그려보도록 할게요. 먼저 절댓값이 들어가는 경우입니다. y의 값이 음수가 나올 수 없으므로, x축 아래의 부분을 꺾어 올리시면 됩니다. 왜 이렇게 되는지 모르겠다면, 아래의 절댓값이 들어가는 함수 내용을 복습하시면 돼요. 링크 걸어둘게요! [함수] 절댓값이 포함된 ..

해석 기하를 처음 배울 때 같이 나오는 삼각형 중선 정리에 대해 다뤄볼까 합니다. 파푸스의 정리라고도 불리죠.모든 삼각형에서 성립하는 거고, 공식 자체는 아래와 같습니다. 삼각형 중선 정리 증명 (해석 기하)먼저 간단하게 증명을 해볼게요. 파푸스의 정리(=삼각형의 중선 정리) 증명은 삼각형을 좌표평면으로 옮겨서 하면 됩니다.증명 자체는 쉬운 편입니다. 사실 요즘 교육과정에서 내용이 많이 축소된 편이라, 이 정도만 다루는 학교도 꽤 많은 걸로 알고 있어요. 뭐.. 이걸 왜 배우나 싶지만 의외로 좌표 평면에서 문제 풀 때 종종 나온답니다. 증명이야 그냥 좌표 옮겨서 하면 되는 거니 별로 어렵지 않고, 적어도 공식은 잘 기억해야 합니다. 길이나 중점 나올 때 주로 쓰이고, 내/외분점이랑도 연결돼서 여러 번 나..

이건 기본문제 말고 내신에 나올만한 삼각함수 도형 고난도 선별 문제입니다. 풀이를 다 올리자니 시간이 너무 오래 걸릴 것 같아 일단 문제와 정답 업로드부터 합니다. 풀이는 차차 올릴 예정이에요. :-) 뭐.. 내신 기간 전에는 업로드 하겠죠..?; 문제 1 아래 그림과 같이 AB=2, AC=5이고, ∠CAB=60º인 삼각형 ABC가 있다. ∠CAB의 이등분선이 원과 만나는 점을 D, 선분 AC가 원과 만나는 점을 E라 할 때, 두 선분 CD, CE와 호 DE로 둘러싸인 부분과 선분 BD와 호 BD로 둘러싸인 부분의 넓이의 합을 구하시오. 정답 : 95√3 / 98 문제 2 아래 그림과 같이 AB=7, AC=9, sin(∠BAC)=(4√3)/7 인 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발..

난 산술기하 평균이 정말 너무 약하다!! -하는 분들을 위한 포스팅입니다. 제 제자들도 맨 처음 이걸 배울 때 너무 어려워하기도 하고... 연습용 문제가 좀 산발적으로 있는 듯하여, 정리차 포스팅합니다. 우선 증명은 아래와 같습니다. a>0, b>0일 때, 기하적으로도 증명하는 방법은 이전에 포스팅해두었으니 아래 링크 참고 하시구요..! 산술기하 평균(부등식) - 기하적인 방법으로 증명하기 절대부등식의 대표적인 예로 산술기하평균을 이용한 부등식을 배웁니다. 이때, 두 식의 차를 이용하여 증명하는 것이 가장 일반적이지만, 기하적인 방법으로도 증명할 수 있습니다. 산술기하 ladyang86.tistory.com 그럼 이제 본격적으로 익혀봅시다. 우선은 산술기하평균 공식부터 5번 써보고 시작합시다. a>0, ..