한량 지아이의 수학 LIFE

오늘은 절대 부등식 중 코시/슈바르츠 부등식에 대해서 알아볼 예정입니다. 우선 코시-슈바르츠 부등식은 아래와 같아요. 증명은 일반적인 부등식 증명법과 같습니다. 그냥 전개해서 빼면 됩니다. 등호는 ay-bx=0일 때 성립하는 것도 같이 기억 해주시구요. 코시 부등식은 개형 자체를 통째로 외워서, 그대로 만들어주면 됩니다! 그럼 이제 본론으로 들어가봅시다.! 코시-슈바르츠 부등식 언제 쓰나요? 1. 문제에서 주어진 식과 구해야 하는 식의 관계가 제곱인 경우. ex) 일차 & 이차, 무리식 & 일차식 등 2. 분자와 분모에 같은 문자가 있는 경우 이 경우는 산술/기하 부등식보다 훨씬 편합니다. 이건 다음 포스팅에서 이어서 할게요.^^ 예제를 풀어봅시다! 문제1 1. 주어진 식, 구해야 하는 식 이차 & 일차..

삼각함수의 활용에서는 삼각형의 넓이를 자주 구합니다. 삼각형의 넓이를 구하는 공식 5가지를 살펴볼거에요. 꼭 외워주세요! 5가지를 그냥 다 외우려면 상당히 복잡하므로, 우선 크게 1,2,3을 묶어서 같이 외우고 4,5를 외울게요. ①②③은 사인법칙으로부터 파생되는 것 ④ 헤론의 공식 ⑤ 내접원의 반지름과 둘레의 길이로 구하는 방법입니다. 하나씩 차근히 살펴보도록 해요. 가장 기본적인 공식이죠. 중3 때부터 외운 것일 테니 넘어갈게요! 여기에 사인법칙을 잠깐 기억해볼까요? 식에서 sinC를 사인법칙을 이용하여 바꿔주기만 한 것인데 ② 공식이 나왔군요.! 사인법칙 한 번 더 써볼까요? 이번에는 두 변 a,b를 사인법칙을 이용하여 바꿔주었더니 ③ 공식이 같이 나왔어요. ①만 알면 ②,③은 사인법칙으로부터 유도..

조건부 확률에서 사건의 독립과 종속을 체크할 때, 일반적으로 P(A)P(B)=P(A∩B)를 이용해서 풉니다. 그런데, 독립의 정의를 이용하면, 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다. 두 사건 A,B가 독립이다 P(A)=P(A|B)이죠. 확실하게 확률을 구할 수 있는 사건을 구해두고, 나머지를 조건부 확률을 이용해서 풀면 됩니다. 만약 사건의 독립과 종속에 관한 부분을 잘 모르겠다...하면 아래 내용을 복습하고 오시면 됩니다. https://ladyang86.tistory.com/8?category=791745 [조건부 확률] 사건의 독립과 종속 (필수 암기 알고리즘) 두 사건의 관계에 대해 알아봅시다. 사건 A가 일어나는 것에 상관없이 사건 B가 일어날 확률이 일정할 때, 두 사건 A,B는 서로 독립이라 하고,..

오늘은 등차수열의 합의 형태를 관찰함으로써 등차수열의 일반항을 빨리 구해보도록 하겠습니다. 우선 등차수열의 합 공식을 살펴볼까요? 식에서 a와 d는 첫째항과 공차로 상수입니다. 문자중 n만 변수죠. 그래서 준 식을 n에 대한 식으로 정리해보면, 상수항이 없는 이차식의 형태가 나옵니다. 반대로 상수항이 없는 이차식도 살펴봅시다. 이것도 일반항을 구해보니 첫번째 항부터 등차수열의 합이 되네요. 즉, 등차수열의 합 = 상수항이 없는 이차식이 되는군요. 그렇다면 지금부터는 둘의 관계를 살펴봅시다. 이차항 계수만 비교해보면 이 식의 의미를 살펴봅시다. 그러니까 상수항이 없는 이차식은 등차수열의 합 공식인데, 이차항의 계수 x 2 = 공차가 나온다는 사실! 게다가 S1 = a1이므로 일반항을 바로 구할 수 있죠. ..

오늘은 이차방정식에서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배워보도록 할게요. 원래는 근과 계수와의 관계를 이용하여 합과, 곱을 구하고 식을 직접 구성하면 됩니다. 그렇지만, 객관식인 경우에는 아래와 같이 바로 구할 수 있어요. 이차방정식의 근이 주어졌을 때, 역수이거나, 부호가 반대이면 계수를 통해 바로 방정식을 구할 수 있답니다. 물론 그냥 외워!!가 아니고, 왜 이런 관계식이 나오는지 설명도 해드릴게요. 그럼 살펴볼까요? 1. 역수를 근으로 갖는 이차방정식 구하기 순서를 거꾸로 써서 정리해볼까요? 괄호를 이용하여 표현해볼게요. 제곱형태를 정리해준다면 이렇게 되겠군요. 아니 이것은..!! 위와 같은 방법을 사용한다면 나머지 한 근도 증명할 수 있습니다. 즉, 계수의 순서를 반대로 쓴 방정식은, 원래 ..

A : 로또 1등에 당첨될 확률은 1/2이야. 왜냐면 1등 당첨이 되거나 안되거나 둘 중 하나기 때문이지. B : 바보냐? 로또 1등에 당첨될 확률은 1/6이야. 1등, 2등, 3등, 4등, 5등이 되거나 꽝이 되는 경우 요 여섯개 중에 하나니까!! 언뜻 들으면 말도 안되는 소리란 건 알겠지만, 왜 아닌지 논리적으로 반박하기가 쉽지 않죠. 오늘은 이 예시가 왜 틀렸는지 수학적 확률을 통해 알아봅시다. 수학에서 확률이란 어떤 사건이 일어날 가능성을 수치로 나타낸 것입니다. 우선은 고등학교 확률과 통계에서 사용하는 용어를 가볍게 정리해보고 갑시다. 시행 : 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 관찰이나 실험 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과 전체의 집합 사건 ..

오늘은 정규분포 문제 중에서 이항분포가 섞여있는 살짝 어려운 문제를 한 번 풀어볼 예정입니다. 정규분포/이항분포는 따로 두고 풀 때는 쉬운 기본적인 문제들이 많습니다. 사실 변수를 굳이 여러개 쓰지 않아도 되는 경우가 많죠. 그렇지만, 난이도가 올라가면 분포도/변수도 여럿 등장합니다. 여러 가지 분포가 섞인 경우에는 변수 사이의 관계식이 잘 보이지 않죠. 이럴 때는 문장을 하나씩 읽어보며 변수에 이름을 정해주고, 구하고자 하는 값부터 거꾸로 접근해보는 것을 추천합니다. 그럼 문제 풀어볼까요? #정규분포 #이항분포 #확통고난도 2006년 교육청 10월 가형 17번 문제입니다. 문제에서 변수의 이름을 다 주었으므로, 주의깊게 살펴봅시다. X는 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리(연속) Y는 12발의..

오늘은 함수의 수렴과 연속의 성질들을 쉽게 외우는 방법에 대해 알아보겠습니다. 우리가 고2 내신을 준비하다보면, 진위 판정을 한 번쯤은 해보게 됩니다. 이게 은근 어렵죠. 나중에 좀 더 쓸텐데 진위판정에서는 되는 성질을 잘 외우시는 것이 중요합니다. 먼저 가장 기본적인 성질들을 살펴보기 전, 간단한 개념 하나만 살펴봅시다. 이항연산에서 '닫혀있다'라는 개념입니다. A라는 집합과 *라는 연산에 대하여 연산 결과가 항상 A라는 집합에 포함된다면, A는 *에 대하여 닫혀있다고 표현합니다. 영어로는 말 그대로 Close 예시를 들자면, 자연수 집합 N과 덧셈 연산+을 살펴보면, 자연수 + 자연수 = 자연수가 되죠. 이 때 +는 N에 대하여 닫혀있다고 표현합니다. 그럼 뺄셈은 어떨까요? 자연수 - 자연수 = 항상..

확률에서 자주 등장하는 가위, 바위, 보 문제를 살펴봅시다. 이 문제는 단순하게 접근하여 '누가' '뭘로' 이겼는지(혹은 졌는지)를 판단하면 됩니다. 가위바위보 문제는 가위,바위,보가 나올거라고 기대하는 정도가 같기에 수학적 확률로 접근합니다. n명이 가위바위보를 한다고 하면 각 케이스는 인원수대로 나누어서 살펴봅시다. 2명일 때 1. A만 이길 확률 1) 누가? A가 (1가지) 2) 뭘로 이길지? 가위/바위/보 (3가지) 2. 비길 확률 : 두 명일 때 비기려면 둘 다 같은 걸 내야죠. 1) 누가? A,B가 (2C2=1가지) 2) 뭘 같이 내지? 가위/바위/보 (3가지) 3명일 때 1. A만 이길 확률 1) 누가? A가 (1가지) 2) 뭘로 이기지? 가위/바위/보 (3가지) 2. 한 명만 이길 확률 1..

오늘은 순열과 조합에서 가장 중요한 중복 조합에 대해 살펴봅시다. 정의 : 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 선택하는 경우 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 이 때 n은 자연수, r은 0과 자연수(음이 아닌 정수)입니다. r개를 선택할 때 중복을 허용하기 때문에 r이 n보다 클 수도 있습니다. 이렇게만 설명하니 잘 안와닿죠?ㅎㅎ 중복조합을 공부할 때는 대표적인 예시들을 잘 이해하면 됩니다. 하나씩 살펴볼까요? 우선 가장 일반적인 걸 살펴볼게요. 중복조합의 정의에서 기인하는 방법입니다. 세 개의 숫자 1,2,3에서 중복을 허용하여 6개의 숫자를 선택하는 방법을 구해 봅시다. (정의에 의해 3H6이라고 쓸 수 있겠네요.) 각 조합에서 선택된 6개의 숫자를 1,2,3의 순서대로 나열한 다음 문자를 ○..