한량 지아이의 수학 LIFE

오늘은 위치에 따라 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수에 대해 정리해봅시다. 삼차함수의 접선의 개수는 교육과정에 있는 내용은 아닙니다. 그렇지만, 모의고사 등에 꾸준히 나오고, 내신에서 이 내용을 아느냐/모르느냐에 따라 시간 차이가 많이 나기 때문에 꼭 알아두는게 좋습니다. 접선의 개수를 구할 때는, 삼차함수의 그래프와 변곡점에서의 접선 이 두 가지는 경계로 그려놓고 판단하시면 됩니다. 변곡점이란? 변곡점이라는 용어 자체가 미적분에서 나와서 문과 학생들에게는 좀 생소한 용어죠. 간단하게 설명하자면, 그래프의 오목/볼록이 바뀌는 점입니다. 위로 볼록인 상태에서 아래로 볼록인 상태로 변하거나, 아래로 볼록인 상태에서 위로 볼록인 상태로 변하는 점이죠. 구하는 방법은 삼차함수에서는 두 번 미분해서 0되는 점..

집합안에 집합이 들어가 있는 집합 본 적 있죠? 예를들면 이런거요. 집합기호⊂와, 원소기호∈를 배운다음 A={Ø,{Ø},0}일 때, Ø⊂A Ø∈A {Ø}∈A 이런 거 헷갈리셨다면 오늘 주목! 이런 문제를 유형 쭉-할거니까 자신없는 친구들은 끝까지 포스팅 보도록 해요! 오늘은 집합의 정의와 집합을 원소로 갖는 집합에 대해 배워볼거에요. 집합의 정의 집합이란 '어떤 조건에 의하여 그 대상을 명확하게 구분할 수 있는 것들의 모임'입니다. 객관적인 조건들을 만족시키는 대상들의 모임이죠. 객관적이다라는 게 '누가 봐도 이견이 없는-' 이라고 보면 됩니다. 그러니까 '키가 큰 사람들의 모임' 이런 건 집합이 될 수 없습니다. 왜 일까요? 180cm인 사람은 이 집합에 들어갈 수 있을까요? 초등학생들 사이에서 180..

오늘은 알아두면 매우 강력한 내용을 배워볼까 합니다. 보통은 원의 방정식에서 가장 학습하기 어려워 하는 부분이 접선의 방정식입니다. 이 중에서도 극선에 관한 내용을 살펴볼거에요. 극선이 뭔가요? 원 밖의 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개입니다. 그러니 접점도 항상 2개죠. 이 두 접점을 이은 직선을 극선이라고 합니다. 그러니까 l이 극선인 거죠! 극선의 방정식 구하는 법 * 아래의 모든 증명을 가시성을 높이기 위해 일부러 좌표를 서로 다른 문자로 썼습니다. 일반적인 교재에서는 해당 점을 모두 (x1, y1), (x2, y2)와 같이 표기하고 있으니 염두하고 보세요. (a,b)에서 원에 그은 두 접선을 l1, l2라고 합시다. 원 위의 점에서 그은 직선의 방정식은 쉽게 구할 수 있으므로 l1과 l2를 각..

신사고, 미래엔, 비상, 지학사, 교학사 교과서 5종을 싹 털어서 수학적 귀납법 문제를 모아 왔습니다! 기말고사 서술형에 단골로 출제되는 문항이기에, 통째로 증명하는 걸 연습해보도록 해요. 등식, 부등식, 배수판정으로 전체를 유형별 분류했고, 순서는 많은 교과서에 실린순으로 실어두었어요. 1. 등식 가장 기본적인 유형입니다. n=k일 때를 가정하고, n=k+1일 때도 성립하게끔 중간과정을 유도해주시면 되죠. 문제1 (교학사, 미래엔, 비상, 신사고, 지학사) 문제2 (교학사, 미래엔, 비상, 지학사) 문제3 (미래엔, 비상, 신사고, 지학사) 문제4 (교학사, 미래엔, 비상, 지학사) 문제5 (교학사, 비상, 지학사) 문제6 (미래엔, 신사고) 문제7 (미래엔) 문제8 (신사고) 문제9 (신사고) 2. ..

오늘은 삼차방정식에서 f(ax+b)=0꼴의 근에 대한 여러 문제를 좀 풀어볼까 합니다. 우선 아래 관계식을 한 번 살펴봅시다. 증명자체는 간단합니다. 애초에 방정식의 '근'이라는 것이 식을 참으로 만드는 x의 값이니까요. 즉 f(x)=0의 세 근이 α,β,γ라면 식의 x자리에 α,β,γ를 넣었을 때 성립한다는 뜻이죠. 여기서 f(cx-d)=0의 근을 한 번 추론해봅시다. f라는 식은 (괄호)안에 α,β,γ가 들어가면 0이 나오는 식입니다. 그렇다면 (괄호)안에 들어있는 (cx-d)라는 식이 α,β,γ가 되면 참이 되겠죠? 이걸 그대로 정리만 해주면 됩니다. 방정식에서 '근'을 물어본다는 건, 결국 x가 뭐냐고 묻는 것이니까, x라는 문자에 관해 정리해주면 되는 것이죠. 간단하죠? 사실 이 부분은 이차방정..

이전에 이차방정식을 배우면서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배웠던 것 기억 나시나요? 근이 역수거나, 음수인 경우에는 금방 구할 수 있었죠. 만약 기억이 안 나신다면 아래 포스팅을 꼭꼭 복습해주시구요..! https://ladyang86.tistory.com/45 [이차방정식 꿀팁] 역수를 근으로 갖는 방정식 빨리 구하는 방법 오늘은 이차방정식에서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배워보도록 할게요. 원래는 근과 계수와의 관계를 이용하여 합과, 곱을 구하고 식을 직접 구성하면 됩니다. 그렇지만, 객관식인 경 ladyang86.tistory.com 오늘은 이걸 확장해서 삼차방정식인 경우에도 구해볼 거에요. 객관식인 경우에는 아래와 같이 바로 구하시면 됩니다. 삼차방정식은 최고차계수에 따라 그냥 ..

오늘은 계수가 대칭인 사차방정식을 풀어볼게요. 일반적으로 사차방정식을 풀 때는 삼차방정식과 동일하게 이차식까지 최대한 인수분해하여 풀면 됩니다. 그런데 말입니다- 고1때 나오는 대부분의 삼차방정식은 조립제법을 사용하면 다 풀리는데, 사차는 조립제법을 사용 못하는 경우도 있어요. 이유는 오늘의 포스팅을 보시면 이해가 되게끔 아래에서 설명해 놓았습니다.! 우선은 계수가 대칭인 사차방정식을 푸는 일반적인 방법을 설명해볼게요! 알고리즘대로 차근히 따라서 푸시면 됩니다. 자, 아래 문제를 직접 풀어볼까요? 문제1 쌤, 그냥 조립제법 쓰면 안돼요? 이런 생각이 들 수 있죠. 실제로 위의 방정식은 아래와 같이 조립제법으로 손쉽게 풀립니다. 뭐.. 위처럼 인수가 바로 보인다면, 조립제법으로 바로 푸시면 됩니다.! 인수..

오늘은 수능대비시 반드시 알아야 할 테마인 함수 곱의 연속에 대해 알아보겠습니다. 연속인 함수 x 연속인 함수 = 항상 연속인 함수죠. 그렇다면 연속 x 불연속은 어떻게 될까요? 이건 연속일수도/ 불연속일수도 있습니다. 그런데 만약 문제에서 연속 x 불연속인데 결과가 연속이라면, 반드시 연속인 함수가 0이어야 해요. 생각해봅시다. 연속은 점에서의 연속부터 정의되니 불연속이 되는 점을 파악하면 됩니다. 불연속 x 불연속의 경우는 직접 정석대로 좌우극한과 함숫값을 전부 구해서 보셔야 합니다. 아래에 문제를 한 번 직접 풀어보면서 익혀보도록 해요! 문제1 우선 f(x)와 g(x)를 살펴봅시다. f(x)는 x=1, x=3에서 불연속이고, g(x)는 이차함수라 실수 전체에서 연속입니다. 즉 불연속 x 연속 = 연..

거듭제곱근 중 실수의 개수에 관한문제들을 풀어볼 거예요. 개념 정리가 머릿속에 딱! 되어있으면굉장히 쉽게 풀 수 있습니다.우선거듭제곱근의 정의는 아래와 같습니다.보통 근호를 이용해서 표현하는데,옳지 않은 표현이니 습관 들이지 마세요!n제곱근은 n개 존재합니다.복소수 범위에서는요. 실수 범위에서는아래와 같이 그래프를 그려서위치를 판별할 수 있습니다.그런데 문제는 a 대신x라는 변수를 더 많이 씁니다. 위에서 정의로 배운 a의 거듭제곱근보다x의 n제곱근이라는 표현이더 자주 나오죠. 여전히 실수의 개수는 그래프로보시면 됩니다. 여기서 포인트는 n이 홀수냐/짝수냐x가 양수냐 음수냐가 되겠죠? 크게는 n제곱근이라 하면n이 홀수인지/아닌지부터 판별합시다. 홀수면 무조건 1개니까요.짝수면 부호를 판별해서2/1/0 중..

시험보기전 반드시 외우고 들어가야 할 문자 3개짜리 곱셈공식과 인수분해공식 총정리 해보았습니다. 위의 8가지 식이 바로 떠오르지 않는다면 오늘 내용 학습을 해주세요.!ㅋㅋ 1. 기본적인 곱셈공식 사실은 중학교 때도 배우는.. 곱셈공식이죠. ②의 경우는 전개한 식을 이항하시면 됩니다. 2. 방정식에서 많이 응용되는 공식 이 부분은 나중에 삼차 방정식에서 정말 많이 보실거에요. 그렇지만 a+b+c, ab+bc+ca, abc가 셋 다 들어있는 식이라 곱셈공식에서도 꽤 중요하게 나옵니다. 이 부분은 조만간 문제 모아서 포스팅 할게요. 부호 조심해서 외워주세요! 3. 삼각형과 연관돼서 많이 나오는 곱셈공식 ⑤이 특히 정삼각형으로 많이 나오죠. 이 공식은 그냥 외우기 보다는 유도과정 자체를 이해하셔야 합니다. 여기..