한량 지아이의 수학 LIFE

일반적으로 지수를 맨 처음에 배울 땐, 밑이 서로 다른데 지수법칙을 이용하여 원하는 값을 구하는 문제들이 나옵니다. 이번엔 밑이 같은 경우를 해볼게요. 로그를 배우기 전에는 지수를 변형해서 풀어야 하기 때문에, 조금 어렵게 느껴질 수도 있어요. 로그를 배운 후라면 큰 고민없이 그냥 로그로 푸셔도 됩니다. 문제1 2017학년도 경찰대 기출 sol1) 지수로 풀기 구해야 하는 식의 밑이 3이죠. 그런데 우리가 문제 조건에서 주어진 숫자는 밑인 12와 5,4입니다. 이걸 갖고 3을 만들어보는게 바로 이 문제의 포인트죠. 여기서 12를 4로 나누면 3이 나옵니다. 이제 이걸 주어진 식에 대입하면 됩니다. sol2) 로그로 풀기 뭐.. 사실 밑이 같기 때문에 로그로 풀면 다 풀립니다. 둘 다 로그로 나타내주면, ..

오늘은 복이차식 인수분해를 풀어볼거에요. 복이차식에서 '복'자란 겹칠 복자입니다. 복부호동순이란 말도 들어보셨죠? 같은 한자를 씁니다. ±와 같이 부호를 겹쳐서 쓴 걸 복부호라고 읽는데, 동순은 순서가 같단 뜻이에요. 겹쳐진 부호끼리 순서가 같은 거죠. 위에 있는 부호끼리 한쌍, 아래 있는 부호끼리 한쌍 뭐 이렇게 보시면 됩니다. 아무튼 복이차식은 말 그대로 풀자면 이차식이 겹쳐져 있는(?) 형태입니다. x대신 x^2을 넣는다면 복이차식이 되죠. 서론이 길었네요. 본격적으로 인수분해 해봅시다.! 우선 복이차식 형태를 본다면 가장 먼저 치환을 해서 인수분해를 시도해봅니다. 그런데 만약 안된다? 이럴 때 오늘 배운 합차꼴로 인수분해 하시면 됩니다. 합차꼴로 변형할 때의 핵심은 완전 제곱식 두 개를 만들어 주..

경우의 수와 확률을 가리지않고 이웃하지 않게 나열하는 방법을 탐구해볼까 합니다! 이건 사실 수학(하) 순열과 조합부터 확률과 통계까지 다 나오기 때문에 꼭 알고 있어야 하는 내용이에요. 우선, 이웃하게 나열하는 건, ① 이웃해야 하는 걸 한 그룹으로 묶고, ② 전체 나열 & 이웃 내부 그룹 나열 이렇게 하는 거 아시죠?ㅎㅎ 이웃하지 않는건 이것과 조금 다릅니다. ① 이웃해도 상관없는 걸 먼저 나열하고, ② 방금 나열한 것 사이사이에 이웃하지 않아야 하는 걸 배열하면 됩니다. 아래에 다양한 예제와 함께 문제를 풀어가면서 감을 익히도록 해보죠! 예제1. 남자 5명, 여자3명을 일렬로 나열할 때, 여자 3명이 누구도 이웃하지 않는 경우의 수를 구하여라. ① 우선 이웃해도 상관없는 남자 5명을 먼저 나열합니다...

오늘은 문자가 2개인 경우, 거듭제곱꼴이 나올 때를 다루어볼거에요. 싹 다 곱셈공식의 변형으로 풀어보겠습니다. 위의 11개식 다 유도할 줄 알면, 여기서 뒤로 가셔도 됩니다.^^ 아니라면 같이 공부해요! 유도해야 할 식이 많으니, 전부 X+Y=3, XY=2일 때로 둘게요. 하나씩 해봅시다. 가장 기본적인 곱셈공식의 변형입니다. 공식을 사용해서 바로 풀면 됩니다. 이거 모르면 뒷 문제 풀지말고 아래에 링크 걸어둔 중3용 곱셈공식의 변형부터 복습하고 돌아옵시다. ladyang86.tistory.com/87 곱셈공식의 변형 연습용 문제 모음 가장 기본적인 이차 식변형 곱셈공식의 변형 문제 모음 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 곱셈공식 분수꼴 곱셈공식 분수꼴 ..

오늘은 고1 해석기하에서 배우는, 삼각형의 무게중심에 대해 간단한 정리를 해볼 예정입니다. 정의나 다른 일반적인 성질 말고, 문제풀이에 유용하게 쓸 수 있는 성질입니다. 첫째, 삼각형 내분점들의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 같습니다. AB,BC,CA를 m:n으로 내분하는 점을 P,Q,R이라 하면, 증명은 매우 간단합니다. PQR의 좌표를 구한다음, 무게중심을 구하면 됩니다. 즉 △ABC의 무게중심 = △PQR의 무게중심입니다. 참고로 외분점의 경우도 수식을 정리해보면 성립하는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 둘째, 삼각형 내부의 점 중, 세 꼭짓점까지의 거리 제곱의 합이 최소가 되는 점은 무게중심이다. 내부의 임의의 점을 P(a,b)로 두고, 세 꼭짓점까지의 거리의 제곱을 구해봅니다. 여기서 xa,x..

오늘은 고1이 풀어볼만한 함수방정식을 몇 개 갖고 와봤습니다. 함수방정식은 함수 자체를 근으로 하는 방정식을 말합니다. 얼핏 보기엔 굉장히 힘들어 보이지만, 푸는 방식은 연립방정식과 비슷해요. 푸는 방법은 다 같습니다. 1. 함숫값에 들어가는 두 방정식의 문자가 같게 만들어 줍니다. 2. 연립방정식처럼 가감법을 이용하여 풀어줍니다. 그럼 하나씩 풀어볼까요? 예제1 함숫값에 들어가는 두 문자는 x와 1-x죠. 둘을 바꿔서 넣어주면 됩니다. 즉 x 대신 1-x를 넣는거죠. 그럼 1-x는 x가 되겠죠? 식을 정리해서 f(x)는 f(x)끼리, f(1-x)는 f(1-x)끼리 오도록 세로식을 정리해줍니다. 우리가 구하는 건 f(x)이니까, 가감법을 사용하여 f(1-x)를 없애주면 됩니다. 함수 자체를 다루는 거라,..

오늘은 이항계수의 성질 중 제곱의 합으로 된 부분을 살펴보겠습니다. 보통 책에서 성질의 증명을 모두 다 항등식의 계수로 설명을 해두는 편이라 처음 배울때 이해가 잘 안된다는 의견이 많더라구요. 그래서 이해하기 쉬운 예시 위주로 설명해볼까 합니다. 예시 남자 10명, 여자 10명 있는 반에서 청소를 할 10명을 고른다고 합시다. 전체 20명 중에서 10명을 뽑는 것이니, 20C10이 됩니다. 이 경우를 좀 더 상세하게 나눠볼까요? 10명을 뽑는 경우는 1. 남 0 & 여 10 2. 남 1 & 여 9 3. 남 2 & 여 8 . . . 10. 남 0 & 여 10의 총 10가지 경우를 각자 계산해서 다 더한 것과 같습니다. 그런데 조합 C의 성질 덕분에, 이를 제곱으로 표현할 수 있죠. 일반화 남자 n명, 여자..

오늘은 원순열에서 많이들 헷갈리는 정다면체 색칠하는 방법의 수에 대한 포스팅입니다. 정다면체가 다섯 종류만 있는 이유 우선 정다면체는 다섯 종류만 존재합니다. 왜 그런지는 사실은 중학교 1학년 때 배웁니다. 가볍게 설명해볼게요. 평면도형을 합쳐서 입체를 만드는 것인데 입체를 만들려면 한 꼭짓점에 평면도형을 세 개 이상 모아야합니다. 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체를 생각해보면, ① 정삼각형 세 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정사면체 ② 정삼각형 네 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정팔면체 ③ 정삼각형 다섯 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정이십면체 요 세가지가 가능합니다. 정삼각형을 한 꼭짓점에 여섯 개 모으면 평면이 되므로 입체도형 만드는 것이 불가능하죠. 다른 정다각형도 살펴본다면, 정사각형으로..

최단거리 문제는 살짝만 바꿔도 조금씩 달라지므로 최대한 다양한 문제를 풀어서 연습하는 것이 중요합니다. 예제1. 아래 그림과 같은 도로망이 있을 때, A지점에서 출발하여 B까지 최단거리로 가는 방법의 수를 세어라. 최단거리 문제는 항상 최단 방향을 먼저 파악한 다음 푸셔야 합니다. 그리고 지날 수 없단 조건이 나온다면, 지날 수 있는 길만 남겨두고 세는 게 더 좋겠죠? sol1) 같은 것이 있는 순열로 풀이 sol2) 직접 세기 예제2 아래 그림과 같은 도로망이 있다. 색칠한 부분은 공사 중이어서 지나갈 수 없을 때, A지점에서 B 지점까지 최단거리로 가는 방법의 수를 구하여라. (단, 모든 도로는 평행하거나 수직으로 만난다.) 우선은 최단거리 방향을 파악합니다. 그리고 지날 수 없는 길은 버립시다. 도..

오늘은 이전에 올렸었던 교란순열(완전순열)의 심화버전 포스팅입니다. 교육과정에 있는 내용은 아니지만, 단순히 수형도를 세는 것에서 벗어나고 싶은 학생들을 위한 내용이랄까요..?ㅎㅎ 이전 포스팅 아래에 링크거니 참고하실 분은 하세요. https://ladyang86.tistory.com/71 [경우의 수] 시험 꿀팁 교란순열 (완전순열) 오늘은 시험 때 시간을 매우 단축시켜주는 꿀팁을 배워 볼 예정입니다. 교란순열(완전순열)이란? 교란순열 : Derangement 완전순열 : Complete permutation 혹은 서브 팩토리얼로 불립니다. Derangement 에서 D ladyang86.tistory.com 그럼 시작해볼까요? 오늘의 포스팅은 수학1의 점화식, 수학(하)의 집합 단원을 알아야 이해할 ..